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Hallo,
sei f: [0,1] [mm] \to \IR [/mm] differenzierbar und f([0,1]) [mm] \subset [/mm] [0,1].
Es ist zu zeigen:
Ist f'(x) [mm] \not= [/mm] 1 für alle x [mm] \in [/mm] ]0,1[, so hat f genau einen Fixpunkt [mm] x_0 [/mm] , d.h.
ein [mm] x_0 \in [/mm] [0,1] mit [mm] f(x_0)=x_0
[/mm]
Wie kann ich das denn zeigen? Ich dachte schon irgendwie mit dem
Mittelwertsatz. Aber ich bekomme keinen richtigen Ansatz.
Danke für Tipps,
Anna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Di 03.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo Anna,
ich hätte eine Beweis, wenn f stetig differenzierbar ist, also eine stetige Ableitung hat.
Hast Du vielleicht diese Vor. vergessen uns mitzuteilen ?
FRED
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Hallo Fred,
ich habe die Aufgabenstellung exakt so abgeschrieben. Mehr steht
da nicht. Aber ist es nicht sowieso so, dass f stetig differenzierbar ist,
da ja immer gilt: ist f differenzierbar in a , so ist f stetig in a?
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Di 03.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Stetig differenzierbar heißt: f ist differenzierbar und f' ist stetig.
Ich habe mich aber in meiner Antwort geirrt: es geht auch ohne stetige Differenziebarkeit:
Sei g(x) = f(x)-x
wegen f'(x) immer ungleich 1, folgt:g' hat im Intervall [0,1] keine Nullstelle.
Wegen des Zwischenwertsatzes für Ableitungen ist dann immer g'>0 oder immer g'<0.
Wir können von g'>0 ausgehen. Dann ist g auf [0,1] streng wachsend.
Fall 1: f(0)=0, fertig
Fall2: f(1)=1, fertig
Wegen f( [0,1]) enthalten in [0,1] bleibt also nur
Fall3: f(0)>0 und f(1)|<1
Dann ist g(0)>0 und g(1)<0
Der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen sagt nun, dass g eine Nullstelle hat. Diese ist dann Fixpunkt von f
FRED
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> Ich habe mich aber in meiner Antwort geirrt: es geht auch
> ohne stetige Differenziebarkeit:
Hallo,
auf die Diffbarkeit kann man auch verzichten.
Ich meine doch, daß die Stetigkeit reicht, oder übersehe ich etwas?
> Sei g(x) = f(x)-x
Wegen [mm] f(0)\ge [/mm] 0 ist [mm] g(0)\ge [/mm] 0,
Wegen [mm] f(1)\le [/mm] 1 ist [mm] g(1)\le [/mm] 0.
Und nun der ZWS.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
> auf die Diffbarkeit kann man auch verzichten.
> Ich meine doch, daß die Stetigkeit reicht, oder übersehe
> ich etwas?
Ich denke (so wie ich es jetzt verstanden habe), dass Diffbarkeit
sein muss, weil man sonst ja nicht den Zwischenwertsatz für
die Ableitung anwenden darf.
Und wenn man das nicht macht, dann müsste g ja nicht unbedingt streng
mononton wachsend/ fallend sein, so dass f dadurch theoretisch mehr
als einen Fixpunkt und nicht "genau einen" besitzt. Oder habe ich das
falsch verstanden?
Danke,
Anna
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> "genau einen"
Hallo,
hier ist das Detail, welches ich übersehen hatte.
Ich hatte nicht gründlich gelesen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 Di 03.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Du hast recht !
FRED
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Hallo,
nein! Hab ich nicht. Ich hatte das "eindeutig" übersehen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:45 Di 03.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Angela,
Du hast doch nicht recht ! Aber das hast Du ja schon selbst gesehen
FRED
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Hallo Fred,
vielen DANK für Deine Antwort!!
> Sei g(x) = f(x)-x
> wegen f'(x) immer ungleich 1, folgt:g' hat im Intervall
> [0,1] keine Nullstelle.
> Wegen des Zwischenwertsatzes für Ableitungen ist dann
> immer g'>0 oder immer g'<0.
Ah klar. Das war der Satz, den ich momentan vergessen hatte. Ich hatte
nur an den "normalen" Zwischenwertsatz gedacht.
> Wir können von g'>0 ausgehen. Dann ist g auf [0,1] streng
> wachsend.
Man könnte den Beweis doch genauso mit g'<0 und dementsprechend
streng mononton fallend führen, oder?
>
> Fall 1: f(0)=0, fertig
> Fall2: f(1)=1, fertig
Das heißt: Es kann nicht f(0)=0 und f(1)=1 sein, weil dann g nicht
streng monoton wachsend wäre?
> Wegen f( [0,1]) enthalten in [0,1] bleibt also nur
> Fall3: f(0)>0 und f(1)|<1
> Dann ist g(0)>0 und g(1)<0
> Der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen sagt nun, dass
> g eine Nullstelle hat. Diese ist dann Fixpunkt von f
Vielen Dank!
Gruß,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Di 03.06.2008 | | Autor: | fred97 |
In den Fällen f(0) = 0 oder f(1) = 1 hast Du doch Fixpunkte, nämlich 0 bzw 1.
Das meinte ich mit "fertig"
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:06 Di 03.06.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Fred,
> In den Fällen f(0) = 0 oder f(1) = 1 hast Du doch
> Fixpunkte, nämlich 0 bzw 1.
> Das meinte ich mit "fertig"
achja. Stimmt.
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Di 03.06.2008 | | Autor: | pelzig |
Wollt nur kurz erwähnen, dass die Behauptung nur ein Spezialfall des Fixpunktsatzes von Banach ist. Man muss nur zeigen, dass $f$ ein Kontraktion auf $[0,1]$ ist, was wegen der Lipschitzstetigkeit differenzierbarer Funktionen auf Kompakta aus $|f'(x)|<1$ folgt - und das gilt nach obigen Voraussetzungen, wäre nämlich [mm] $|f'(x)|\ge1$, [/mm] so müsste wegen dem ZWS für Ableitungen und [mm] $f'(x)\ne1$ [/mm] sogar $|f'(x)|>1$ gelten. Dann folgt mit dem Mittelwertsatz [mm] $|f(1)-f(0)|=|f'(\xi)|>1$ [/mm] der Widerspruch zu [mm] $f(x)\in[0,1]$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Di 03.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
-hier war mist-
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