Fixpunkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Wredi |
| Aufgabe | | Finden Sie die Lösung der Gleichung [mm] x^3-x-2=0 [/mm] mit Hilfe einer Fixpunktiteration. Beachten sie, dass es dazu zwei Möglichkeiten gibt: [mm] x_{k+1}=x_k^3-2 [/mm] und [mm] x_{k+1}=\sqrt{x_k+2}. [/mm] Berechnen Sie einige Iterationen mit Startwert [mm] x_0=1 [/mm] und bestimmen Sie den Fixpunkt [mm] \bar{x} [/mm] auf fünf Nachkommastellen. |
Hi,
ich soll obige aufgabe lösen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
die eigentliche Iteration ist ja nicht redenswert. allerdings muss man bei gebrauch des Banachschen Fixpunktsatz ja erst nachweisen, dass es eine Kontration ist. daran scheitere ich bis jetzt.
zur ersten möglichkeit: [mm] x_{k+1}=x_k^3-2
[/mm]
wenn [mm] f(x)=x^3-2 [/mm] eine Kontraktion ist, kann der Banachsche Fixpunktsatz angewendet werden:
||f(x)-f(y)|| [mm] \leq q\cdot [/mm] ||x-y|| [mm] \qqad [/mm] q [mm] \in [/mm] (0,1)
[mm] ||x^3-2-y^3+2|| \leq q\cdot [/mm] ||x-y||
[mm] \frac{||x^3-y^3||}{||x-y||} \leq [/mm] q
und da hörts bei mir auf. ist wahrscheinlich wieder wie immer offensichtlich, aber ab hier krieg ich den beweis nicht hin, dass es das nicht ist (das weiß ich schon, es muss die zweite variante sein).
MfG Wredi
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Huhu,
es gilt [mm] $\bruch{x^3 - y^3}{x-y} [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + xy + [mm] y^2$
[/mm]
Das ist aber ziemlich unbeschränkt auf ganz [mm] \IR.
[/mm]
Als Tip: Kontraktionen sind ja Lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante $0 [mm] \le [/mm] L < 1$.
Ist eine Funktion differenzierbar und Lipschitzstetig auf M mit Lipschitzkonstante L, so gilt
[mm] $\sup_{x\in M}|f'(x)| [/mm] = L$
D.h. du kannst auch die erste Ableitung auf Beschränktheit prüfen um Kontrahieren zu zeigen.
Insbesondere wirst du bei beiden Iterationen wohl erst deine Menge festlegen müssen, auf der die Funktion dann Kontrahierend und selbstabbildend ist.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Wredi |
> Huhu,
>
> es gilt [mm]\bruch{x^3 - y^3}{x-y} = x^2 + xy + y^2[/mm]
>
woher weiß ich das? ich seh die umformungsschritte nicht.
> Das ist aber ziemlich unbeschränkt auf ganz [mm]\IR.[/mm]
>
> Als Tip: Kontraktionen sind ja Lipschitzstetig mit
> Lipschitzkonstante [mm]0 \le L < 1[/mm].
> Ist eine Funktion differenzierbar und Lipschitzstetig auf M
> mit Lipschitzkonstante L, so gilt
>
> [mm]\sup_{x\in M}|f'(x)| = L[/mm]
>
> D.h. du kannst auch die erste Ableitung auf Beschränktheit
> prüfen um Kontrahieren zu zeigen.
>
> Insbesondere wirst du bei beiden Iterationen wohl erst
> deine Menge festlegen müssen, auf der die Funktion dann
> Kontrahierend und selbstabbildend ist.
>
> MFG,
> Gono.
danke
MfG Wredi
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Ausrechnen!
[mm] $(x^3 [/mm] - [mm] y^3) [/mm] = [mm] (x^2 [/mm] + xy + [mm] y^2)(x-y)$
[/mm]
Und danach am besten sofort beweisen, dass gilt
[mm] $\bruch{x^{n+1} - y^{n+1}}{x-y} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}x^{n-k}y^k$
[/mm]
Das braucht man immer mal wieder.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Wredi |
ja, gut danke, da hatte ich wohl tomaten auf den augen.
MfG Wredi
PS: sry für die eröffnung der frage, war ein versehen.
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