Fixpunktbestimmung < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zur Bestimmung des Fixpunktes [mm] x^{*} [/mm] der stetig differenzierbaren Abbildung [mm] \Phi [/mm] mit [mm] \left| \Phi' (x)\right|\not=1 [/mm] seien die folgenden Iterationsvorschriften für k=0,1,... definiert:
a) [mm] x_{k+1}:=\Phi(x_{k})
[/mm]
b) [mm] x_{k+1}:=\Phi^{-1}(x_{k})
[/mm]
Zeigen Si, dass mindestens eine der beiden Iterationen lokal konvergiert. |
Ich habe leider keine Ahnung, was ich mit der Aufgabe anfangen soll.
Ich dache erst, ich gehe mit einer Beispielfunktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] vor. Denn für f(x) gilt ja schon mal, dass [mm] f'(x)\not=1 [/mm] ist.
Dann denke ich, [mm] \Phi(x_{k}) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] und [mm] \Phi^-1(x_{k})=\wurzel{x}
[/mm]
Wenn ich die beiden Graphen seiche, schneiden die sich bei x=1, also nehme ich an [mm] x^{*}=1.
[/mm]
Dann habe ich mit [mm] x_{0}=0.5 [/mm] angefangen und die Werte für die beiden Funktionen berechnet.
Und was nun?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Mo 17.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zur Bestimmung des Fixpunktes [mm]x^{*}[/mm] der stetig
> differenzierbaren Abbildung [mm]\Phi[/mm] mit [mm]\left| \Phi' (x)\right|\not=1[/mm]
> seien die folgenden Iterationsvorschriften für k=0,1,...
> definiert:
> a) [mm]x_{k+1}:=\Phi(x_{k})[/mm]
> b) [mm]x_{k+1}:=\Phi^{-1}(x_{k})[/mm]
>
> Zeigen Si, dass mindestens eine der beiden Iterationen
> lokal konvergiert.
> Ich habe leider keine Ahnung, was ich mit der Aufgabe
> anfangen soll.
>
> Ich dache erst, ich gehe mit einer Beispielfunktion
> [mm]f(x)=x^2[/mm] vor. Denn für f(x) gilt ja schon mal, dass
> [mm]f'(x)\not=1[/mm] ist.
Doch, für x=1/2 !!
>
> Dann denke ich, [mm]\Phi(x_{k})[/mm] = [mm]x^2[/mm] und
> [mm]\Phi^-1(x_{k})=\wurzel{x}[/mm]
>
> Wenn ich die beiden Graphen seiche, schneiden die sich bei
> x=1, also nehme ich an [mm]x^{*}=1.[/mm]
> Dann habe ich mit [mm]x_{0}=0.5[/mm] angefangen und die Werte für
> die beiden Funktionen berechnet.
>
> Und was nun?
Die Aufgabe ist nicht vollständig gestellt. Wo ist [mm] \Phi [/mm] definiert ???
Tipp:
Wegen $ [mm] \left| \Phi' (x)\right|\not=1 [/mm] $ und der Stetigkeit von [mm] \Phi' [/mm] ist
$ [mm] \left| \Phi' (x)\right| [/mm] <1 $ für alle x oder $ [mm] \left| \Phi' (x)\right|>1 [/mm] $ für alle x.
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo Fred,
danke für die schnelle Antwort.
Das ist leider die ganze Aufgabe. Mir fehlte auch die Funktion [mm] \Phi [/mm] deswegen habe ich irgend eine Funktion genommen. Ich habe das mit [mm] \Phi'(x)\not=1 [/mm] so interpretiert, dass die Ableitungsfunktion nicht die Konstante 1 sein darf. Ich dachte sonst müsste da so was wie [mm] \Phi'(x)\not=1 \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] srtehen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mi 19.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
