Fixpunkte < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 So 01.03.2009 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Gegeben ist die Abbildung f: [mm] C\{-i} [/mm] -> C mit f(z) = w = [mm] \frac{1}{z+i}.
[/mm]
a) Berechne die Fixpunkte von f.
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Guten Abend,
Die Fixpunkte bzw. den Fixpunkt habe ich bisher nur bei Geraden ausgerechnet. Dabei war die Formel z0= [mm] \frac{b}{1-a}...
[/mm]
Wie gehe ich nun vor?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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> Gegeben ist die Abbildung f: [mm]C\{-i}[/mm] -> C mit f(z) = w =
> [mm]\frac{1}{z+i}.[/mm]
> a) Berechne die Fixpunkte von f.
Hallo,
hier sollst Du ausrechnen, für welche z gilt z=f(z).
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 So 01.03.2009 | | Autor: | kushkush |
Hallo angela.h.b. ,
wie rechne ich denn aus für welche z gilt f=f(z) ?
Nehme ich w=x+yi und z=a+bi ?
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> wie rechne ich denn aus für welche z gilt f=f(z) ?
Hallo,
so habe ich Dir das aber nicht gesagt.
>
> Nehme ich w=x+yi und z=a+bi ?
Letzteres.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 So 01.03.2009 | | Autor: | kushkush |
Hi angela.h.b. ,
das gibt mir
[mm] a+bi=\frac{1}{a+bi+i}
[/mm]
[mm] a^{2}+2abi+ai-b^{2}-b=1
[/mm]
hier stecke ich fest... welche 2.te Gleichung fehlt mir??
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> Hi angela.h.b. ,
>
> das gibt mir
>
> [mm]a+bi=\frac{1}{a+bi+i}[/mm]
> [mm]a^{2}+2abi+ai-b^{2}-b=1[/mm]
>
>
> hier stecke ich fest... welche 2.te Gleichung fehlt mir??
Hallo,
keine fehlt Dir.
Sortiere links nach Vielfachen von 1 und von i , (...)*1+ (...)*i=1 und mach dann einen Koeffizientenvergleich.
Gruß v Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 So 01.03.2009 | | Autor: | kushkush |
(2ab+a)i [mm] +(a^{2}-b^{2}-b)1=1 [/mm]
dann so ?
a(2b+1)i [mm] +a^{2}-b(b+1) [/mm] =1 ?
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> (2ab+a)i [mm]+(a^{2}-b^{2}-b)1=1[/mm]
>
Hallo,
und jetzt einen Koeffizientenvergleich:
==>
2ab+a=0
[mm] a^{2}-b^{2}-b=1.
[/mm]
Dieses Gleichungssystem ist jetzt auszuwerten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 So 01.03.2009 | | Autor: | kushkush |
[mm] b=-\frac{1}{2}
[/mm]
[mm] a^{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=1
[/mm]
[mm] a=\sqrt[2]{\frac{3}{4}}
[/mm]
doch wie geht das mit dem Koeffizientenvergleich?
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Hallo kushkush,
> [mm]b=-\frac{1}{2}[/mm]
Das ist aber nur die eine Lösung der ersten Gleichung! Was ist mit $a=0$? ...
Das solltest du zumindest erwähnen ...
>
> [mm]a^{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=1[/mm]
>
> [mm] $a=\red{\pm}\sqrt[2]{\frac{3}{4}}$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Denke an [mm] "\pm" [/mm] ! Sonst ist's nur "halb" richtig 
>
>
> doch wie geht das mit dem Koeffizientenvergleich?
Den hast du gerade gemacht.
Der Real- und der Imaginärteil einer komplexen Zahl sind eindeutig.
Du hattest zu lösen $z=f(z)$
Mit $z=a+bi$ ergab das [mm] $\red{a^2-b^2-b}+\blue{(2ab+a)}\cdot{}i=1=\red{1}+\blue{0}\cdot{}i$ [/mm]
Vergleichst du nun die Koeffizienten von Real- und Imaginärteil auf beiden Seiten, erhältst du das obige Gleichungssystem
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 So 01.03.2009 | | Autor: | kushkush |
Hi schachuzipus,
dann wären die 2 anderen Lösungen a = [mm] \pm [/mm] 1...
Und das ist jetzt die "Endlösung"? also 4 Fixpunkte?
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Hallo nochmal,
> Hi schachuzipus,
>
>
> dann wären die 2 anderen Lösungen a = [mm]\pm[/mm] 1...
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Die erste Gleichung war doch $2ab+a=0$, also $a(2b+1)=0$, also $a=0 \ [mm] \vee [/mm] \ [mm] b=-\frac{1}{2}$
[/mm]
Du hast die beiden Lösungen, die sich für a ergeben, wenn [mm] $b=-\frac{1}{2}$ [/mm] ist, berechnet und die beiden Fixpunkte [mm] $z_1=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\cdot{}i$ [/mm] und [mm] $z_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\cdot{}i$ [/mm] abgegrast.
Was ergibt sich mit $a=0$ für die zweite Gleichung?
>
> Und das ist jetzt die "Endlösung"? also 4 Fixpunkte?
Nee
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 So 01.03.2009 | | Autor: | kushkush |
Hi,
ich hatte 2ab=0 im Kopf...
[mm] 0-b^{2}-b=1 [/mm]
also dann
[mm] b^{2}+b=-1 [/mm]
[mm] b^{2}+b+1=0 [/mm]
[mm] \frac{-1\pm\sqrt[2]{-3}}{2} [/mm]
[mm] \frac{-1\pm\sqrt[2]{3}*i}{2} [/mm]
[mm] a_{1,2}=\frac{-1}{2}\pm \frac{\sqrt[2]{3}}{2}i [/mm]
so?
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Hallo nochmal,
> Hi,
>
> ich hatte 2ab=0 im Kopf...
>
> [mm]0-b^{2}-b=1[/mm]
>
> also dann
Für a=0 gilt:
> [mm]b^{2}+b=-1[/mm]
>
> [mm]b^{2}+b+1=0[/mm]
>
> [mm]\frac{-1\pm\sqrt[2]{-3}}{2}[/mm]
> [mm]\frac{-1\pm\sqrt[2]{3}*i}{2}[/mm]
a und b sind doch reell
Also gibt es für den Fall a=0 keine reelle Lösung für b
Damit sind die einzigen beiden Fixpunkte diejenigen, die sich oben für [mm] $b=-\frac{1}{2}$ [/mm] ergeben haben
>
> [mm]a_{1,2}=\frac{-1}{2}\pm \frac{\sqrt[2]{3}}{2}i[/mm]
Puh, das ist [mm] Unsinn^3
[/mm]
> so?
>
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 So 01.03.2009 | | Autor: | kushkush |
Ok,
Danke schachuzipus und angela.h.b.
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