Fixpunkte < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gibt es ein [mm] k \in\IN\subemptyset \ [/mm], so dass die Funktion f: [0,1] [mm] \rightarrow\IR\ [/mm] , [mm] f(x)=x^k+1/2
[/mm]
mindestens einen Fixpunkt hat? |
Mit den Fixpunktsätzen komme ich darauf, dass
[mm]\bruch{(|x^k-y^k|)}{|x-y|}<1[/mm] gelten muss, damit die Funktion einen Fixpunkt hat.
Das ist dann der Fall, wenn gilt:
[mm] |x^k-y^k|<|x-y|
[/mm]
Wenn ich also zeige, dass es kein K gibt, für das diese Gleichung gilt, habe ich gezeigt, dass es keinen Fixpunkt gibt.
Für k=1 wäre der linke Ausdruck dem rechten gegenüber gleichgroß, es geht also nicht.
Für k=2 hätten wir die 3.binomische Formel, wo wir x+y<1 bekommen.
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich jetzt weiter vorgehen muss?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:54 Do 10.01.2013 | | Autor: | hippias |
Ich glaube, ich wuerde hier einfach den Zwischenwertsatz anwenden: Die Existenz eines Fixpunktes von $f$ ist Aequivalent zur Existenz einer Nullstelle von $g(x)= [mm] x^{k}+\frac{1}{2}-x$. [/mm] Nun ist $g(0)>0$. Wenn Du zeigen kann, dass es z.B. ein $k$ gibt, sodass [mm] $g(\frac{3}{4})<0$ [/mm] ist - und es ist nicht schwer einzusehen, dass es so ein $k$ gibt - dann muss $g$ im Intervall [mm] $[0,\frac{3}{4}]$ [/mm] eine Nullstelle haben, bzw. $f$ einen Fixpunkt.
Sonst: Wie lautet denn der Fixpunktsatz, den Du anwenden moechtest?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Do 10.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Gibt es ein [mm]k \in\IN\subemptyset \ [/mm], so dass die Funktion
> f: [0,1] [mm]\rightarrow\IR\[/mm] , [mm]f(x)=x^k+1/2[/mm]
> mindestens einen Fixpunkt hat?
> Mit den Fixpunktsätzen komme ich darauf, dass
>
> [mm]\bruch{(|x^k-y^k|)}{|x-y|}<1[/mm] gelten muss, damit die
> Funktion einen Fixpunkt hat.
Nein. Das stimmt nicht. Schau Dir den Fixpunktsatz genau an.
> Das ist dann der Fall, wenn gilt:
> [mm]|x^k-y^k|<|x-y|[/mm]
>
> Wenn ich also zeige, dass es kein K gibt, für das diese
> Gleichung gilt, habe ich gezeigt, dass es keinen Fixpunkt
> gibt.
> Für k=1 wäre der linke Ausdruck dem rechten gegenüber
> gleichgroß, es geht also nicht.
> Für k=2 hätten wir die 3.binomische Formel, wo wir x+y<1
> bekommen.
> Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich jetzt weiter
> vorgehen muss?
Vorneweg: f hat in [0,1] keinen Fixpunkt.
EDIT: das ist Quatsch und unten stand Unsinn.
Pardon
FRED
|
|
|
| |
|
Kleine Frage, für k=5 erhalte ich doch gleich zwei Fixpunkte auf [0,1], nämlich:
x~~0.550607 und x~~0.7691
Darf man wirklich davon ausgehen, dass für k>2 keine reellen Lösungen für die Gleichung existieren, nur weil für k=2 keine reelle Lösung existiert?
|
|
|
| |
|
Hiho,
du hast natürlich recht, die Funktion bekommt für größere k Fixpunkte.
Für den allgemeinen Beweis geh wie folgt vor:
Die Funktion [mm] $x^k [/mm] - x + [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] hat in [0,1] ein lokales Minimum [mm] $x_{\text{min}}$
[/mm]
Unter bestimmten Anforderungen an k gilt nun [mm] $f(x_{\text{min}})\le0$.
[/mm]
Und damit hat man (mindestens) einen Fixpunkt.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hallo Fred,
> Vorneweg: f hat in [0,1] keinen Fixpunkt.
das stimmt nicht, siehe den neuen Diskussionsstrang.
Gruß,
Gono.
|
|
|
|
