Fixpunktemenge abhängig von < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Sei $A\in SL(2,\IC))$. Man untersuche die Fixpunktmenge $\{z \in \overline{\IC}} | h_{A}(z) = z\}$ in Abhängigkeit von der Spur von A. |
Hallo,
bezeichne tr(A) die Spur der Matrix A und
sei nun
$ h_{A}(z):= \frac{az+b}{cz+d} \in \IC(z)$ ,
die dazugehörige komplexe Matrix :
$ A= \vektor{a& b \\ c & d}$
Behauptung: Sei $h_{A}(z)$ nicht $id$ , und sei $A \in SL(2,\IC)$ , dann sind 3 Fälle zu unterscheiden:
$i) $|tr(A)|< 2$ , ii) $|tr(A)|=2$, und iii) $|tr(A)|>2$
Beweis: Da $det A=1$ betrachte man die Fälle $a) c=0$ oder $b) c\ne 0$ .
1. Fall: Ist c = 0, dann ist sicher $\infty$ ein Fixpunkt von $h_{A}$. Ausserdem ist $det(A)=ad = 1 \Rightarrow a=\frac{1}{d}$. Daraus folgt $h_{A}(z) = a^{2}z+ab$ Damit folgt für die Spur von A :$tr(A) = a+ \frac{1}{a}$.
(\alpha ) Sei nun $a=1$ oder $a=-1$, $b\ne 0$. Dann ist $|tr(A)|=2$. Für $h_{A}(z) = a^{2}z+ab = z$ existiert ausser $\infty$ kein Fixpunkt.
(\beta ) Sei $a\ne \pm 1$, dann gilt: $|tr(A)|>2 $. Mit $h_{A}(z)=a^{2}z+ab=z \gdw z=\frac{ab}{1-a^{2}}$ folgt dass es hier zwei Fixpunkte gibt, nämlich: $\frac{ab}{1-a^{2}}$ und $\infty$.
2. Fall: Ist $c\ne 0$. Wenn $c\ne 0 $ dann gilt zum Finden der Fixpunkte $h_{A}(z) = az+\frac{b}{cz}+d = z \Rightarrow cz^{2}+(d-a)z-b=0$.
Dabei ist die Diskriminante D der quadratischen Gleichung:
$(d-a)^{2}+4bc = d^{2}-2ad+a^{2}+4bc = (d+a)^{2}-4ad+4bc = (tr(A)^{2}-4\underbrace{(ad-bc)}_{detA=1} = tr(A)^{2}-4$
(\alpha) Ist jetzt D=0, dann ist $tr(A)=4$, also $|tr(A)|=2$. Daraus folgt auch, dass es nur einen Fixpunkt gibt.
(\beta ) Ist D>0 , dann ist $tr(A)^{2} - 4 > 0$ , also muss auch $|tr(A)|> 2$ Also gibt es, weil es dann 2 Lösungen für die quadratische Gleichung gibt, auch 2 Fixpunkte.
(\gamma ) Ist D<0 , dann ist auch $|tr(A)|<2$. Gibt zwei komplex konjugierte Fixpunkte, aber einer liegt nicht im Definitionsbereich, also nur ein Fixpunkt.
Ist das so richtig?
Danke für jegliche Hilfestellung!!
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:20 Do 13.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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