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Forum "Nichtlineare Gleichungen" - Fixpunktgleichung
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Fixpunktgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:19 Do 17.05.2012
Autor: unibasel

Aufgabe
Gesucht sind die Nullstellen der Funktion F(x) = 2x-cos(x). Zeige grafisch, dass F auf dem Intervall (0,1) genau eine Nullstelle x* hat. Gebe zwei verschiedene Fixpunktgleichungen [mm] x=\phi_{i}(x),i=1,2, [/mm] an, die von x* erfüllt werden. Prüfe experimentiell für geeignete Startwerte [mm] x_{0}, [/mm] ob die Fixpunktiterationen [mm] x_{n+1}=\phi_{i}(x_{n}) [/mm] gegen das gesuchte x* konvergieren. Begründe im Falle der Konvergenz den experimentiellen Befund.

Nun ich habe die Funktion mal grafisch dargestellt:
F(x) = 2*x-cos(x)

Im Intervall (0,1) besitzt diese genau eine Nullstelle x*.

Nun wie bestimme ich jetzt die Fixpunktgleichungen? Und wie kann ich dies dann prüfen?

Ich verstehe das Skript dazu nicht genau.

Wäre für Hilfe dankbar.
mfg :)

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Fixpunktgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:23 Do 17.05.2012
Autor: fred97

Fixpunktgleichungen wären z.B.:

cos(x)-x=x

oder [mm] \bruch{cos(x)}{2}=x [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Fixpunktgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:31 Do 17.05.2012
Autor: unibasel

Haha danke, das war ja ziemlich trivial.

Jetzt nehme ich also einen Startwert [mm] x_{0}, [/mm] also z.b für die erste Nullstelle und setze dies in die Fixpunktgleichungen ein?

Und was ist dann mit der zweiten Nullstelle?

Hmm... bin ziemlich verwirrt.
lg


Bezug
                        
Bezug
Fixpunktgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:37 Do 17.05.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Haha danke, das war ja ziemlich trivial.
>
> Jetzt nehme ich also einen Startwert [mm]x_{0},[/mm] also z.b für
> die erste Nullstelle und setze dies in die
> Fixpunktgleichungen ein?
>
> Und was ist dann mit der zweiten Nullstelle?
>
> Hmm... bin ziemlich verwirrt.

[mm] x_{n+1}=cos(x_n)-x_n [/mm]

für Variante 1...


Gruß, Diophant

Bezug
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