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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:01 Sa 11.09.2010 | | Autor: | farnold |
| Aufgabe | Sei f(x)=cos(x)
[mm] x_{t+1} [/mm] = [mm] x_{t} [/mm] + 0.5 [mm] f(x_{t}).
[/mm]
a) Fuer Welche Startwerte und mit welcher Ordnung konvergiert diese Iteration gegen [mm] z=\pi [/mm] / 2
b)Wie lautet in diesem Fall das Newton Verfahren? Man begründe, dass dieses hier kubisch konvergiert. |
Hallo erstmal,
da ich leider keine Lösungen zu obiger Aufgabe habe und meine, dass diese fuer die kommende Klausur relevant sein kann, wollte ich fragen, ob folgende Ideen richtig sind:
zu a)
- ich bilde die Ableitung von g(x):=x+0.5*cos(x)
- ich schaue in welchem Intervall (in dem sich auch z=/pi /2 befindet), die erste Ableitung betragsmäßig kleiner 1 ist (,da dann z "anziehend" ist, ist die Fixpunktiteration somit konvergnt)
=> im Intervall [0,/pi] konvergiert die Fixpunktiteration
- zur Ordnung: ich teste ob [mm] g^{1}(z)=0,g^{2}(z)=0,...,g^{p}(z)\not=0 [/mm] => Fixpunktiteration hat Ordnung p. In meiner Aufgabe also Ordnung 1,
da g´(x)=1-0.5*sin(x) ungleich 0 ist für x=/pi /2.
zu b)
- Newton-Verfahren: [mm] x_{t+1} [/mm] = [mm] x_{t} [/mm] - [mm] f(x_{t})/f^{1}(x_{t}).
[/mm]
für [mm] f(x_t) [/mm] obige Funktion einsetzen und fuer die Bestimmung der Ordnung selbes Spiel wie bei a).
viele Grüße
fa
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Hallo farnold,
> Sei f(x)=cos(x)
> [mm]x_{t+1}[/mm] = [mm]x_{t}[/mm] + 0.5 [mm]f(x_{t}).[/mm]
> a) Fuer Welche Startwerte und mit welcher Ordnung
> konvergiert diese Iteration gegen [mm]z=\pi[/mm] / 2
> b)Wie lautet in diesem Fall das Newton Verfahren? Man
> begründe, dass dieses hier kubisch konvergiert.
> Hallo erstmal,
>
> da ich leider keine Lösungen zu obiger Aufgabe habe und
> meine, dass diese fuer die kommende Klausur relevant sein
> kann, wollte ich fragen, ob folgende Ideen richtig sind:
>
> zu a)
> - ich bilde die Ableitung von g(x):=x+0.5*cos(x)
> - ich schaue in welchem Intervall (in dem sich auch z=/pi
> /2 befindet), die erste Ableitung betragsmäßig kleiner 1
> ist (,da dann z "anziehend" ist, ist die Fixpunktiteration
> somit konvergnt)
> => im Intervall [0,/pi] konvergiert die Fixpunktiteration
> - zur Ordnung: ich teste ob
> [mm]g^{1}(z)=0,g^{2}(z)=0,...,g^{p}(z)\not=0[/mm] =>
> Fixpunktiteration hat Ordnung p. In meiner Aufgabe also
> Ordnung 1,
> da g´(x)=1-0.5*sin(x) ungleich 0 ist für x=/pi /2.
>
> zu b)
> - Newton-Verfahren: [mm]x_{t+1}[/mm] = [mm]x_{t}[/mm] -
> [mm]f(x_{t})/f^{1}(x_{t}).[/mm]
> für [mm]f(x_t)[/mm] obige Funktion einsetzen und fuer die
> Bestimmung der Ordnung selbes Spiel wie bei a).
Die Ideen sind alle richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> viele Grüße
> fa
Gruss
MathePower
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