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| Aufgabe | | Zeigen sie das die ITerattion [mm] x_{k+1} [/mm] = [mm] cos(x_{k}) [/mm] für alle Startwerte [mm] x_{0} \varepsilon \IR [/mm] gegen den einzigen Fixpunkt x* = cos(x*) konvergiert. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich versuch mich gerade an obiger aufgabe und komm nicht so recht weiter. Der einzige Satz der mir zu obiger Aufgabenstellung einfällt ist der Banachscher Fixpunktsatz. Um diesen anzuwenden müsste ich zeigen das
a) f eine Kontraktion f:D->D ist (ist denke ich gegeben, die Ableitung wäre doch sin(x) und dh immer <= 1)
b) D eine abgeschlossene Teilmenge in [mm] \IR [/mm] ist
Und das ist D ja wohl leider nicht.
Tja, und da verließen sie mich leider auch schon. Kann ich evtl D irgendwie einschränken, so dass ich den Satz doch anwenden kann? Oder gibt es da einen anderen Lösungsweg?
Bin für jede Hilfe dankbar, ich bräuchte die Punkte wirklich dringend. :3
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Di 18.06.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Zeigen sie das die ITerattion [mm]x_{k+1}[/mm] = [mm]cos(x_{k})[/mm] für
> alle Startwerte [mm]x_{0} \varepsilon \IR[/mm] gegen den einzigen
> Fixpunkt x* = cos(x*) konvergiert.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen,
> ich versuch mich gerade an obiger aufgabe und komm nicht
> so recht weiter. Der einzige Satz der mir zu obiger
> Aufgabenstellung einfällt ist der Banachscher
> Fixpunktsatz. Um diesen anzuwenden müsste ich zeigen das
>
> a) f eine Kontraktion f:D->D ist (ist denke ich gegeben,
> die Ableitung wäre doch sin(x) und dh immer <= 1)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) D eine abgeschlossene Teilmenge in [mm]\IR[/mm] ist
>
> Und das ist D ja wohl leider nicht.
> Tja, und da verließen sie mich leider auch schon. Kann
> ich evtl D irgendwie einschränken, so dass ich den Satz
> doch anwenden kann? Oder gibt es da einen anderen
> Lösungsweg?
Dein [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] ist ja beliebig. und deshalb D nicht beschränkt.
Aber was gilt für [mm] $x_1$ [/mm] und alle [mm] $x_n$, [/mm] $n [mm] \ge [/mm] 1$?
Sie liegen alle in [-1;1].
> Bin für jede Hilfe dankbar, ich bräuchte die Punkte
> wirklich dringend. :3
Gruß
meili
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Di 18.06.2013 | | Autor: | fred97 |
Man braucht hier keinen Fixpunktsatz !
Zunächst nimmt man sich die Funktion g(x):=x-cos(x) vor.
Wegen g(0)<0 und g(1232)>0 hat g eine Nullstelle [mm] x_F.
[/mm]
Da g streng monoton ist, hat g genau eine Nullstelle.
Fazit: es gibt genau ein [mm] x_F [/mm] mit
[mm] x_F=cos(x_F).
[/mm]
Nein sei [mm] (x_k) [/mm] wie in der Aufgabe. Wegen $ [mm] x_{k+1} [/mm] $ = $ [mm] cos(x_{k}) [/mm] $ ist [mm] (x_k) [/mm] beschränkt.
Nun sei a ein Häufungspunkt von [mm] (x_k).
[/mm]
Zeige: [mm] a=x_F.
[/mm]
Damit hat die beschränkte Folge [mm] (x_k) [/mm] genau einen Häufungspunkt und ist somit konvergent (gegen [mm] x_F)
[/mm]
FRED
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