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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 Mi 23.07.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag alle zusammen!
Ich beschäftige mich gerade mit dem Fixpunktsatz von Banach! Nachdem ich den Satz und den dazugehörigen Beweis intensiv durchgearbeitet habe, bleiben leider noch ein paar Unklarheiten, die ich "rot" markiert habe. Desweiteren finde ich in meinen Script einen weiteren Satz, der zum Abschluss des Kapitels zitiert wurde und den ich nicht wirklich eiordnen kann. Vielleicht kann mir jemand helfen, diese Unklarheiten zu beseitigen.
Vielen Dank im Voraus!
Fixpunktsatz von Banach :
Sei X ein vollständiger metrischer Raum und [mm] f: X \to X [/mm] kontrahierend. Dann besitzt f genau einen Fixpunkt.
Beweis :
EXISTENZ:
Seinen [mm] x, y \in X [/mm] mit [mm] f(x) = x [/mm] und [mm] f(y) = y [/mm].
[mm] d ( x, y ) = d ( f(x), f(y) ) \le C d (x, y ) [/mm] mit C < 1.
[mm] \Rightarrow d(x, y ) = 0 [/mm], also [mm] x = y [/mm].
EINDEUTIGKEIT :
Sei [mm] x_0 [/mm] beliebig und [mm] x_n := f^n (x_0) [/mm].
Wenn die Folge [mm] ( x_n ) [/mm] konvergiert, so ist ihr Limes ein
Fixpunkt. .
( Ist dies dehalb der Fall:
Wenn ich diese Folge haben: [mm] x_0 , x_1 = f (x_0 ), x_2 = f( x_1 ) = f^2 (x_0 ), ... [/mm] usw.
Wenn diese Folge gegen [mm] x \in X [/mm] konvergiert, so ist
[mm] f(x) = f ( \limes_{n \to \infty} x_n ) = f ( \limes_{n \to \infty} f^n (x_0 ) ) = \limes_{n \to \infty} f ( f^n (x_0 )) = \limes_{n \to \infty}f^{n+1} (x_0 ) = \limes_{n \to \infty}x_{n+1} = x [/mm],
das heißt, x ist Fixpunkt ??? )
Weil X vollständig ist, müssen wir nur zeigen, dass [mm] ( x_n ) [/mm] eine Cauchy - Folge ist.
Das heißt: Ist [mm] \epsilon > 0 [/mm] , so müssen wir ein [mm] N \in \mathbb N [/mm] finden, so dass
[mm] d ( x_m , x_n ) < \epsilon [/mm] für [mm] m \ge n \ge N [/mm].
Seien [mm] N, m, n \in \mathbb N [/mm] mit [mm] m \ge n \ge N [/mm].
d ( [mm] x_m [/mm] , [mm] x_n [/mm] ) & = & d ( [mm] f^m (x_0), f^n (x_0) [/mm] ) [mm] \\
[/mm]
[mm] \le [/mm] C d ( [mm] f^{m-1} (x_0), f^{n-1} (x_0) [/mm] ) [mm] \\
[/mm]
[mm] \le C^2 [/mm] d ( [mm] f^{m-2} (x_0), f^{n-2} (x_0) [/mm] ) [mm] \le [/mm] ... [mm] \\
[/mm]
[mm] \le C^n [/mm] d ( [mm] f^{m-n} (x_0), x_0 [/mm] ) [mm] \\
[/mm]
[mm] \red{\le} C^N [/mm] d ( [mm] x_0 [/mm] , [mm] f^{m-n} (x_0) [/mm] ) [mm] \\
[/mm]
[mm] \red{\le} C^N [/mm] ( d ( [mm] x_0 [/mm] , f [mm] (x_0) [/mm] ) + d ( f( [mm] x_0) [/mm] , [mm] f^2 (x_0) [/mm] ) + ... + d ( [mm] f^{m - n -1 }(x_0) [/mm] , [mm] f^{m-n} (x_0) [/mm] ) [mm] \\
[/mm]
[mm] \red{\le} C^N [/mm] ( d ( [mm] x_0 [/mm] , f [mm] (x_0) [/mm] ) + C d ( [mm] x_0 [/mm] , f [mm] (x_0) [/mm] ) + ... + [mm] C^{m-n-1} [/mm] d ( [mm] x_0 [/mm] , f [mm] (x_0) [/mm] ) [mm] \\
[/mm]
= [mm] C^N [/mm] d ( [mm] x_0 [/mm] , f [mm] (x_0) [/mm] ) ( y + C [mm] +C^2 [/mm] + .... + [mm] C^{m-n-1 } [/mm] ) [mm] \\
[/mm]
[mm] \le C^N [/mm] d ( [mm] x_0 [/mm] , f [mm] (x_0) [/mm] ) ( y + C [mm] +C^2 [/mm] + .... ) [mm] \\
[/mm]
= [mm] C^N [/mm] d ( [mm] x_0 [/mm] , f [mm] (x_0) [/mm] ) [mm] \summe_{n = 0 }^\infty C^n \\
[/mm]
= [mm] C^N \bruch{1}{1-C} [/mm] d ( [mm] x_0 [/mm] , f [mm] (x_0) [/mm] )
Ist also [mm] \epsilon > 0 [/mm] gegeben, so wählen wir [mm] N \in \mathbb N [/mm] mit
[mm] C^N \bruch{1}{1-C} d ( x_0 , f (x_0) ) < \epsilon [/mm].
Ist dann [mm] m \ge n \ge N [/mm] so ist [mm] d ( x_m, x_n ) < \epsilon [/mm].
( Frage:
Die Ungleichungen bei denen die [mm] \le [/mm] - Zeichen rot sind, verstehe ich nicht ganz... )
Und jetzt noch der Satz, den ich nicht einordnen kann.
SATZ:
Sei X ein vollständiger metrischer Raum, [mm] x_0 \in X , R > 0 [/mm] und
[mm] B := \{ x \in X \ | \ d ( x, x_0 ) < R \} [/mm].
Sei [mm] G : B \to X [/mm] eine Abbildung, und es gebe ein [mm] C < 1 [/mm] mit:
[mm] (1) \ \ d ( G(x), G(y) ) \le C d (x, y ) , \ \forall \ x,y \in B [/mm]
[mm] (2) \ \ d ( G(x_0) , x_0 ) < R \cdot ( 1 - C ) [/mm].
Dann gibt es genau ein [mm] x \in B [/mm] mit [mm] G(x) = x [/mm].
( FRAGE:
Ist das eine andere Variante der Fixpunksatzes???
In diese Abbildung gehen wir von einer offenen Menge aus, und nicht von ganz X, warum?
Was ist der Sinn dieses Satzes? )
Vieleb Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Mi 23.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Zur ersten Frage:
Du hast es richtig erkannt !
Einfacher geht es so: es ist doch [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] f(x_{n}) [/mm] und f ist stetig.
Zur zweiten Frage.
Es handelt sich einfach um einen weiteren Fixpunktsatz.
Fixpunktsätze gibt es in der Mathematik haufenweise.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Mi 23.07.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Vielen Dank für die Antwort!
Dennoch bleibt meine Frage, nach den Ungleichungen offen :-(....
Und was den zweiten Satz betrifft, weiß ich immernoch nicht, wofür man den benötigt. Warum nimmt denn da ausgerechnet die offenen Mengen?
Ich hoffe, dass mir bei diesen Fragen jemand helfen kann!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Mi 23.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Zu den Ungleichungen:
1. rote Ungl: es ist doch n [mm] \ge [/mm] N und C<1, also ist [mm] C^n \le C^N
[/mm]
2. rote Ungl: das ist eine mehrfache Anwendung der Dreiecksungl., z.B.:
[mm] d(x_{0}, f^2(x_{0})) \le d(x_{0}, f(x_{0})) [/mm] + [mm] d(f(x_{0}), f^2(x_{0}))
[/mm]
3. rote Ungl: das ist die Kontraktionseigenschaft
d(f(x),f(y)) [mm] \le [/mm] Cd(x,y)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 Mi 23.07.2008 | | Autor: | Irmchen |
Vielen Dank für die Antwort!
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