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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Mo 27.05.2013 | | Autor: | love |
Hallo Leute könnt Ihr mir mal bitte weiterhelfen? Die Aufgabe lautet zeigen sie,dass [mm] x^2+36=e^x [/mm] im [mm] Intervall[0,\infty[ [/mm] genau eine Lösung hat.Bestimmen sie die lösung auf zwei nachkommastellen,inklusive Abschätzung des Fehlers. Also ich weiss dass ich hier die erste Ableitung machen muss folgendes habe ich gemacht,ich komm aber nicht voran: 1.Das Intervall ist abgeschlossen.
[mm] |f1(x)|=|\bruch{2x}{x^2+36}|<1 [/mm] für alle x aus [mm] [0,\infty[
[/mm]
[mm] sup{|\bruch{2x}{x^2+36}}|
[/mm]
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Hiho,
du brauchst keinen Banachschen Fixpunktsatz dafür.
Und was du da getan hast, ist auch nicht so ganz klar.....
Tipp: Betrachte [mm] $f(x)=e^x [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - 36$ und untersuche diese Funktion auf Nullstellen. Verwende dafür den Zwischenwertsatz und weise über die Ableitung nach, dass es nur eine gibt.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Mo 27.05.2013 | | Autor: | love |
muss man jetzt nicht für x= 0 und unendlich einsetzten dann kommt ja f(0)=-36 und für f von unendlich unendlich und wegen dem vorzeichenwechsel ex. nur eine lösung reicht das dann aus?
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Hiho,
> muss man jetzt nicht für x= 0 und unendlich einsetzten
Wie willst du denn unendlich in eine Funktion einsetzen?
Aber du kannst stattdessen einen beliebig ausreichend großen Wert einsetzen, ja.
> dann kommt ja f(0)=-36 und für f von unendlich unendlich
Also f(0) ist bei mir nicht -36.
> und wegen dem vorzeichenwechsel ex. nur eine lösung
Wieso sollte nur eine Lösung existieren?
Was sagt der Zwischenwertsatz aus? Wenn du das nicht weißt: Nachschlagen!
> reicht das dann aus?
Noch lange nicht....
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Mo 27.05.2013 | | Autor: | love |
achh sorry f(0)=-35 und für f(5) zb kommt da eine pos zahl raus da beide vorzeichen verschieden sind,gilt nach dem ZWS,dass mind eine nullstelle im abgeschlossenen Intervall ex. f nimmt jeden wert zwischen -35 und [mm] \infty, [/mm] da f im abgeschlossenen intervall stetig ist.
Aber ich musste doch zeigendass es nur eine lösung ex. ist das dann nicht falsch
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Hiho,
> achh sorry f(0)=-35 und für f(5) zb kommt da eine pos zahl raus da beide vorzeichen verschieden sind,gilt nach dem ZWS,dass mind eine nullstelle im abgeschlossenen Intervall ex.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber ich musste doch zeigendass es nur eine lösung ex. ist das dann nicht falsch
Falsch ist es nicht, du bist nur noch nicht fertig.
Du weißt nun, es existiert eine Nullstelle, um zu zeigen, dass es die einzige ist, hatte ich dir ja bereits den Tipp gegeben, dir mal die Ableitung im Intervall [mm] $[0,\infty)$ [/mm] anzuschauen.
Wie sieht die Ableitung aus und was kannst du über sie sagen?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Mo 27.05.2013 | | Autor: | love |
die erste Ableitung lautet [mm] f1(x)=e^x-2x [/mm]
und dann f1(0)=-1 f1(5)= pos zahl also wieder das gleiche wie oben? reicht es aus wenn ich den gleichen satz wieder schreibe
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Hiho,
> die erste Ableitung lautet [mm]f1(x)=e^x-2x[/mm]
> und dann f1(0)=-1 f1(5)= pos zahl also wieder das gleiche
Was ist f1? Was willst du damit sagen?
Drück dich (mathematisch!!) korrekt aus, wenn du etwas aussagen willst.
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:24 Di 28.05.2013 | | Autor: | love |
ja mit f1 meinte ich die erste ableitung.. Aber ich verstehe jetzt nicht warum hier nur eine nullstelle ex. :( ich muss ja noch die zweite Teilaufgabe machen die lautet Bestimmen Sie die Lösung auf zwei Nachkommastellen
genau, inklusive Abschätzung des Fehlers.. muss ich jetzt nicht hier x^(0), x^(1) , x^(2) berechnen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:34 Di 28.05.2013 | | Autor: | Helbig |
> ja mit f1 meinte ich die erste ableitung.. Aber ich
> verstehe jetzt nicht warum hier nur eine nullstelle ex. :(
> ich muss ja noch die zweite Teilaufgabe machen die lautet
> Bestimmen Sie die Lösung auf zwei Nachkommastellen
> genau, inklusive Abschätzung des Fehlers.. muss ich jetzt
> nicht hier x^(0), x^(1) , x^(2) berechnen
Hallo love,
es ist vielleicht doch besser, hier den Fixpunktsatz von Banach zu verwenden.
Dazu betrachte die gleichwertige Fixpunktgleichung $x= [mm] \ln(x^2+36)$ [/mm] und zeige,
daß [mm] $f(x)=\ln(x^2+36)$ [/mm] auf [mm] $[0;\infty)$ [/mm] eine Kontraktion ist und daß [mm] $f(x)\in[0;\infty)$ [/mm] für [mm] $x\in[0,\infty)$.
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Di 28.05.2013 | | Autor: | love |
ok aber ist das was ich bis jetzt gemacht habe falsch?
[mm] |f(x)-f(y)|=|ln|x^2+36|-ln|y^2+36||
[/mm]
[mm] =\integral_{x}^{y}{\bruch{2t}{t^2+36}dt}|<=\bruch{\wurzel{36}}{36}|x-y| [/mm] soo oder
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:53 Mi 29.05.2013 | | Autor: | Helbig |
> ok aber ist das was ich bis jetzt gemacht habe falsch?
Man kann auch mit Deinem Ansatz Existenz und Eindeutigkeit zeigen. Und etwa mit der Bisektion könntest Du dann die Lösung der Gleichung annähern. Aber das wäre am Thema dieser Aufgabe vorbei, oder?
> [mm]|f(x)-f(y)|=|ln|x^2+36|-ln|y^2+36||[/mm]
>
> [mm]=\integral_{x}^{y}{\bruch{2t}{t^2+36}dt}|<=\bruch{\wurzel{36}}{36}|x-y|[/mm]
> soo oder
Wie begründest Du die letzte Ungleichung? Ich zöge hier den Mittelwertsatz der Differential- dem der Integralrechnung vor.
Gruß,
Wolfgang
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Hiho,
> ja mit f1 meinte ich die erste ableitung.. Aber ich verstehe jetzt nicht warum hier nur eine nullstelle ex. :(
Ganz einfach: es gilt $f'(x) > 0$ und damit ist f streng monoton wachsend.
Ergo ist die gefundene Nullstelle die einzige.
> ich muss ja noch die zweite Teilaufgabe machen die lautet
> Bestimmen Sie die Lösung auf zwei Nachkommastellen
> genau, inklusive Abschätzung des Fehlers.. muss ich jetzt
> nicht hier x^(0), x^(1) , x^(2) berechnen
Dafür wäre Banach dann wohl wirklich besser, da dir dieser das Verfahren dafür gleich mitliefert.
Helbig hat dir ja den Ansatz dafür auch gleich gegeben.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 Di 28.05.2013 | | Autor: | love |
achso ok danke :) dh ich habe jetzt nur bewiesen,dass f genau eine lösung hat den anderen teil muss ich mit banach machen
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