Fkt. auf Einheitskreisscheibe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:51 Mi 23.06.2010 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei [mm]E \subset {\IC}[/mm] die offene Einheitskreisscheibe und [mm]f : \overline{E} \to {\IC}[/mm] eine stetige Funktion, die eingeschränkt auf [mm]E[/mm] holomorph ist und [mm]f(\partial{E}) \subset \partial{E}[/mm].
Zeigen Sie, dass dann gilt:
Es gibt [mm]t \in \IR, n \in \IN_{0}, a_{1},..., a_{n} \in {E} : f(z)=e^{it}*\produkt_{k=1}^{n}\frac{z-a_k}{1-\overline{a}_{k}z}[/mm] |
Hallo,
ich habe ein Problem bei obiger Aufgabe.
Wir haben den Tipp bekommen zu erst f als nullstellenfrei zu betrachten.
Sei also f nullstellenfrei.
f holomorph auf [mm]E[/mm] , [mm]E[/mm] Elementargebiet [mm]\Rightarrow[/mm] Es gibt [mm]h : E \to \IC[/mm], sd [mm] f|_{E}=e^{h(z)}[/mm], wobei h wiederum holomorph ist. [mm] \Rightarrow [/mm] Für alle [mm] z \in \partial{E}, \epsilon{>}0, [/mm] gibt es $z' [mm] \in [/mm] E$, [mm] \delta{>}0: \left|f(z) - f(z')\right| [/mm] = [mm] \left|f(z)-e^{h(z)}\right| [/mm] < [mm] \epsilon.$, [/mm] da f stetig. Also gilt auch für die abgeschlossene Kreisscheibe: [mm] f|_{\overline{E}} = e^h [/mm]
Stimmt dieser Teil schonmal?
Da [mm]f(\partial{E}) \subset \partial{E}[/mm] gilt: Für [mm] z \in \partial{E}: |z|=|f(z)|=1 \Rightarrow 1=|f(z)|=|e^{h(z)}|[/mm]
Das ist der Punkt an dem ich nicht weiter komme. Kann ich nun schon sagen, dass f ein Drehung darstellt? Oder wie komme ich weiter, hat jemand einen Anstoß.
Vielen Dank im Voraus für Antworten.
Viele Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:41 Mi 23.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Lippel!
> Sei [mm]E \subset {\IC}[/mm] die offene Einheitskreisscheibe und [mm]f : \overline{E} \to {\IC}[/mm]
> eine stetige Funktion, die eingeschränkt auf [mm]E[/mm] holomorph
> ist und [mm]f(\partial{E}) \subset \partial{E}[/mm].
> Zeigen Sie,
> dass dann gilt:
>
> Es gibt [mm]t \in \IR, n \in \IN_{0}, a_{1},..., a_{n} \in {E} : f(z)=e^{it}*\produkt_{k=1}^{n}\frac{z-a_k}{1-\overline{a}_{k}z}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe ein Problem bei obiger Aufgabe.
>
> Wir haben den Tipp bekommen zu erst f als nullstellenfrei
> zu betrachten.
>
> Sei also f nullstellenfrei.
> f holomorph auf [mm]E[/mm] , [mm]E[/mm] Elementargebiet [mm]\Rightarrow[/mm] Es gibt
> [mm]h : E \to \IC[/mm], sd [mm]f|_{E}=e^{h(z)}[/mm], wobei h wiederum
> holomorph ist. [mm]\Rightarrow[/mm] Für alle [mm]z \in \partial{E}, \epsilon{>}0,[/mm]
> gibt es $z' [mm]\in[/mm] E$, [mm]\delta{>}0: \left|f(z) - f(z')\right|[/mm] =
> [mm]\left|f(z)-e^{h(z)}\right|[/mm] < [mm]\epsilon.$,[/mm] da f stetig. Also
> gilt auch für die abgeschlossene Kreisscheibe:
> [mm]f|_{\overline{E}} = e^h[/mm]
>
> Stimmt dieser Teil schonmal?
Ich sehe nicht ganz ein, warum man $h$ so fortsetzen sollen koennte.
> Da [mm]f(\partial{E}) \subset \partial{E}[/mm] gilt: Für [mm]z \in \partial{E}: |z|=|f(z)|=1 \Rightarrow 1=|f(z)|=|e^{h(z)}|[/mm]
>
> Das ist der Punkt an dem ich nicht weiter komme. Kann ich
> nun schon sagen, dass f ein Drehung darstellt? Oder wie
> komme ich weiter, hat jemand einen Anstoß.
Ich weiss nicht wie man so weiterkommt.
(Wenn $f$ nullstellenfrei ist, so muss es uebrigens konstant sein.)
Ein anderer Ansatz:
Die Menge [mm] $\overline{E}$ [/mm] ist kompakt, und somit ebenfalls [mm] $f(\overline{E})$. [/mm] Aus [mm] $f(\partial [/mm] E) [mm] \subseteq \partial [/mm] E$ folgt [mm] $f(\overline{E}) \subseteq \overline{E}$ [/mm] (warum?). Dann gibt es wiederum nur zwei Moeglichkeiten:
* Es ist [mm] $f(\overline{E}) [/mm] = [mm] \overline{E}$ [/mm] und $f(E) = E$, oder
* Es ist $f$ konstant mit $f(z) = [mm] e^{i t}$ [/mm] fuer ein passendes $t$.
Im ersten Fall hat $f$ eine Nullstelle, im zweiten Fall nicht. Im ersten Fall nimmst du dir eine soche Nullstelle, sagen wir $a$, und schaust $g(z) := f(z) [mm] \frac{1 - \overline{a} z}{z - a}$ [/mm] an; dies erfuellt die gleichen Voraussetzungen wie $f$, nur dass es eine Nullstelle weniger in $E$ hat. Dies machst du fuer jede Nullstelle von $f$ in $E$; du wirst nach endlich vielen Schritten fertig, da [mm] $\overline{E}$ [/mm] kompakt ist und sich die Nullstellen von $f$ nicht in $E$ haeufen koennen, es also nur endlich viele Nullstellen gibt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Do 24.06.2010 | | Autor: | Lippel |
Danke für deinen Ansatz Felix, habe es damit glaube ich hinbekommen.
Grüße, Philipp
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