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| Aufgabe | Bestimme den Definitionsbereich, die Nullstellen, die Pole, die Symmetrie zu den Achsen, die Asymptoten und die Bereiche mit f<0 , f>0.
f(x)= [mm] \bruch{x^4}{(x²-1)|x|}
[/mm]
f(x)= |x²-1|+|x|-1 |
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Bei der ersten Aufgabe habe ich raus, dass es 4 Nullstellen bei x=0 gibt und im Def.bereich alle Zahlen bis auf -1,0,1 sind. Jetzt habe ich die Zahlen die nicht im Def.bereich sind in die Zählerfunktion eingesetzt. Als Ergebnis habe ich:
Z(-1) [mm] \not= [/mm] 0 -> Pol
Z(1) [mm] \not= [/mm] 0 -> Pol
Z(0)=0 -> behebare Lücke
Bei der Symmetrie habe ich f(-x) = f(x) -> Symmetrie zur Ordinatenachse
Ist das soweit richtig?
Jetzt komme ich bei den Asymptoten nicht weiter.. eigentlich würde ich hier Polynomdivision machen, aber ich hab keine Ahnung wie ich mit den Beträgen rechnen soll. und was diese Bereiche f<0, f>0 bedeuten...
Bei der zweiten Aufgabe habe ich ebenfalls eine Symmetrie zur Ordinatenachse, aber hier finde ich nicht mal die Nullstellen, weil ich nicht weiß wie ich mit den Beträgen rechnen soll.
Wäre klasse, wenn mir jemand helfen könnte...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 So 23.11.2008 | | Autor: | urmelinda |
ich habe gemerkt, dass die erste Fkt. keine NS hat, da N(0)=0!
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Hi, urmelinda,
> Bestimme den Definitionsbereich, die Nullstellen, die Pole,
> die Symmetrie zu den Achsen, die Asymptoten und die
> Bereiche mit f<0 , f>0.
> f(x)= [mm]\bruch{x^4}{(x²-1)|x|}[/mm]
> Bei der ersten Aufgabe habe ich raus, dass es 4
> Nullstellen bei x=0 gibt
Also: Wenn Du [mm] x^{4} [/mm] = 0 setzt, kriegst Du EINE (!) 4-fache Nullstelle des Zählers.
Da x=0 aber gar nicht zur Definitionsmenge gehört, liegt dort KEINE Nullstelle von f (!) vor.
> und im Def.bereich alle Zahlen bis
> auf -1,0,1 sind. Jetzt habe ich die Zahlen die nicht im
> Def.bereich sind in die Zählerfunktion eingesetzt. Als
> Ergebnis habe ich:
> Z(-1) [mm]\not=[/mm] 0 -> Pol
> Z(1) [mm]\not=[/mm] 0 -> Pol
> Z(0)=0 -> behebare Lücke
Das musst Du aber genauer begründen!
Die Tatsache, dass der Nenner UND der Zähler gleich 0 sind, führt NICHT AUTOMATISCH zu einer stetig behebbaren Definitionslücke!
Es könnte dennoch ein Pol vorliegen, ja bei einer Funktion, die einen Betragsterm beinhaltet sogar eine "endliche Sprungstelle"!
Also: Endgültige Begründung nur über Grenzwertrechnung!
> Bei der Symmetrie habe ich f(-x) = f(x) -> Symmetrie zur
> Ordinatenachse
OK!
> Jetzt komme ich bei den Asymptoten nicht weiter..
Naja: Erst musst Du ja mal die beiden senkrechten Asymptoten bei x=-1 und bei x=1 erwähnen!
> eigentlich würde ich hier Polynomdivision machen, aber ich
> hab keine Ahnung wie ich mit den Beträgen rechnen soll. und
> was diese Bereiche f<0, f>0 bedeuten...
Du meinst wohl eher: x>0 und x<0
Das hängt mit der Auflösung der Betragsstriche zusammen.
Da für x>0 |x| = x ist, kannst Du den Funktionsterm für x > 0 so schreiben:
f(x) = [mm] \bruch{x^{4}}{(x^{2}-1)x} [/mm] = [mm] \bruch{x^{3}}{(x^{2}-1)}
[/mm]
Für x < 0 aber gilt: |x| = -x und demnach:
f(x) = [mm] \bruch{x^{4}}{(x^{2}-1)(-x)} [/mm] = [mm] \bruch{-x^{3}}{(x^{2}-1)}
[/mm]
(Wie Du siehst, habe ich das nach dem Kürzen verbliebene Minuszeichen der besseren Übersichtlichkeit halber in den Zähler geschrieben!)
So: Und nun kannst Du Polynomdivision machen - sogar 2 davon, eine für x<0 und eine für x>0; denn: Es gibt 2 schiefe Asymptoten, eine gilt für x [mm] \to -\infty, [/mm] die andere für x [mm] \to +\infty.
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 So 23.11.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Urmelinda,
Mit f>0, f<0 ist vermutlich gemeint, dass Du rausfinden sollst, für welche x der Funktionsgraph oberhalb bzw. unterhalb der x-Achse liegt.
Nun: Für x < -1 und für x > 1 ist f>0; für -1 < x < 0 und 0 < x < 1 ist f<0.
mfG!
Zwerglein
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Wie führe ich die Polynomdivision bei der Fkt f(x) = [mm] \bruch {x^3}{(x^2-1)} [/mm] durch. Komme da auf keine lineare Fkt.
Danke für die Hilfe
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Hi, partisan,
> Wie führe ich die Polynomdivision bei der Fkt f(x) = [mm]\bruch {x^3}{(x^2-1)}[/mm]
> durch. Komme da auf keine lineare Fkt.
[mm] \bruch{x^{3}}{x^{2}-1} [/mm] = x + [mm] \bruch{x}{x^{2}-1}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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Hi, Urmelinda,
Zwerglein zum Dritten! 
> Bestimme den Definitionsbereich, die Nullstellen, die Pole,
> die Symmetrie zu den Achsen, die Asymptoten und die
> Bereiche mit f<0 , f>0.
> f(x)= |x²-1|+|x|-1
> Bei der zweiten Aufgabe habe ich ebenfalls eine Symmetrie
> zur Ordinatenachse, aber hier finde ich nicht mal die
> Nullstellen, weil ich nicht weiß wie ich mit den Beträgen
> rechnen soll.
Naja, erst mal: D= [mm] \IR, [/mm] keine Pole, keine Asymptoten.
Nun zum Aulösen der Beträge. Das kannst Du z.B. so lösen:
(1) Die Nullstellen von [mm] x^{2}-1 [/mm] sind -1 und +1.
Der Term [mm] x^{2}-1 [/mm] ist für x [mm] \le [/mm] -1 und für x [mm] \ge [/mm] 1 positiv, zwischen -1 und +1 negativ.
Ergo: [mm] |x^{2}-1| [/mm] = [mm] x^{2}-1 [/mm] für x [mm] \le [/mm] -1 und auch für x [mm] \ge [/mm] 1.
[mm] |x^{2}-1| [/mm] = [mm] -(x^{2}-1) [/mm] = 1 - [mm] x^{2} [/mm] für -1 < x < 1
(2) |x| geht schneller. Wie bei der 1. Aufgabe bereits verwendet, ist
|x| = x für x [mm] \ge [/mm] 0; |x| = -x für x < 0.
Nun kombinieren wir (1) und (2).
Da wir 3 "kritische Stellen" haben, nämlich -1, 0 und +1, erhalten wir 4 Fälle:
1. Fall: Für x [mm] \le [/mm] -1 ist f(x)= |x²-1|+|x|-1 = [mm] x^{2}-1 [/mm] - x - 1 = [mm] x^{2} [/mm] - x - 2.
Nullstellen: Nur x=-1 liegt im "richtigen" Bereich.
2.Fall: Für -1 < x < 0 ist f(x)= |x²-1|+|x|-1 = [mm] 1-x^{2} [/mm] - x - 1 = [mm] -x^{2} [/mm] - x Nullstelle: keine.
3.Fall: Für 0 [mm] \le [/mm] x <1 ist f(x)= |x²-1|+|x|-1 = [mm] 1-x^{2} [/mm] + x - 1 = [mm] -x^{2} [/mm] + x Nullstelle: x=0.
4.Fall: Für x [mm] \ge1 [/mm] ist f(x)= |x²-1|+|x|-1 = [mm] x^{2}-1 [/mm] + x - 1 = [mm] x^{2} [/mm] + x -2 Nullstelle: x=1.
Ach ja, und: f(x) > 0 für x [mm] \in \R [/mm] \ {-1; 0; 1 }. f(0) < 0 geht nicht!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 So 23.11.2008 | | Autor: | urmelinda |
vielen vielen Dank für die ausführlichen Lösungen!
Du hast mir sehr geholfen :)
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