Fläche Verhältnis 2:1 teilen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Mi 10.09.2008 | | Autor: | vi-chan |
| Aufgabe | | Das Rechteck A(0|1), B(-1|1), C(-1|-1), D(0|-1) soll durch den Graphen der Funktion f(x)= [mm] a(x^4 [/mm] - x²) im Verhältnis 2:1 geteilt werden.Wie muss a>0 gewählt werden? |
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab grad keine Ahnung, wie ich die Aufgabe lösen könnte... Kann mir jemand bitte helfen?
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> Das Rechteck A(0|1), B(-1|1), C(-1|-1), D(0|-1) soll durch
> den Graphen der Funktion f(x)= [mm]a(x^4[/mm] - x²) im Verhältnis
> 2:1 geteilt werden.Wie muss a>0 gewählt werden?
> ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich hab grad keine Ahnung, wie ich die Aufgabe lösen
> könnte... Kann mir jemand bitte helfen?
Dann mal meine Denkansätze dazu :)
Also zuerst solltest du dir eine Skizze machen, das Rechteck einzeichnen und einmal dessen Flächeninhalt ausrechnen.
Offensichtlich hat das Rechteck ja eine Fläche von 2 FE
Desweiteren soll dieses Rechteck von der Funktionsschar so durchtrennt werden, dass 2/3 entweder über oder unter dem Graphen liegen (wenn ich das richtig verstehe)
Da die Funktion sich wie [mm] x^4 [/mm] verhält und achsensymmetrisch ist, das Rechteck aber nur im 3. und 4. Quadranten liegt, also nur links vom Nullpunkt, kann mann nur die "linke Seite" der Funktion betrachten. Und jetzt würde ich versuchen, über Integrale so die Fläche zwischen 0 und -1 zu bestimmen, dass für einen bestimmten a-Wert eben genau 2/3 des Flächeninhaltes des Rechteckes rauskommen
weitere Erkenntnisse
Die Funktionsschaar hat die festen Nullstellen
[mm] x_{1/2}=0 [/mm] (Doppelnullstelle/Berührpunkt) sowie die beiden Nullstellen [mm] x_{3/4}=\pm1
[/mm]
Das bedeutet, die Integrationsgrenzen sind in jedem Fall 0 und -1
Ebenso bleibt immer eine Hälfte des Rechtecks von der Kurve unberührt, je nach dem, ob der Parameter positiv oder negativ ist. Das heißt, die Hälfte der Rechtecksfläche bleibt in jedem Fall unberührt, damit steht die Fläche von 1 schon einmal fest, die Kurve schneidet durch die jeweils andere Hälfte und damit kann man dann jetzt vielleicht rechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Mi 10.09.2008 | | Autor: | vi-chan |
| Aufgabe | Das Rechteck A(0|1), B(-1|1), C(-1|-1), D(0|-1) soll durch den Graphen der Funktion f(x)= $ [mm] a(x^4 [/mm] $ - x²) im Verhältnis 2:1 geteilt werden.Wie muss a>0 gewählt werden?
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okay danke!
also hab es ausgerechnet:
[mm] \integral_{-1}^{0}{f(x) dx} [/mm] = 4/3
[a/5 * [mm] x^5 [/mm] - a/3* x³] von 0 bis -1 = 4/3
0 - (-a/5 +a/3) =4/3
a/5 -a/3= 4/3
-2/15a = 4/3
a= -10
stimmt das?
Neue Frage= Wenn jetzt generell 4 Punkte von einem Rechteck/ Quadrat gegeben sind.. muss ich das immer zeichnen, damit ich weiß, wie groß der Flächeninhalt ist?
Bsp: ich hab 4 Punkte eines Quadrates und eine Funktion. Woher weiß man, in welchen Verhältnis der Graph von fdas Quadrat teilt?
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Nach meiner Überlegung habe ich etwas anderes.
Ich gehe davon aus, dass die Hälfte des Rechteckes wie gesagt nicht vom Graphen berührt wird, damit habe ich schon einam 0,5 des gesuchten Flächeninhaltes. Da ich aber [mm] \bruch{2}{3} [/mm] brauche, sind noch [mm] \bruch{1}{3} [/mm] übrig, die unter der Kurve liegen müssen.
Damit komme ich für a auch ein Ergebnis von a=-2,5 (wobei das Vorzeichen keine Rolle spielt, da die Funktion dann nur an der x-Achse gespiegelt wird, die Flächenverhältnisse aber gleichbleiben)
Um auf deine Fragen zu antworten, Skizzen sind super und hilfreich, aber man wird sie nicht zwangsläufig brauchen. Den Flächeninhalt kannst du bei einem Rechteck/Quadrat ja immer über die gegebenen Koordinaten ausrechnen, so habe ich es ja auch gemacht, also hier war es natürlich der Betrag aus 0-1 aber das geht ja für beliebige Zahlen.
Das eigentliche Problem sind, denke ich, die Integrationsgrenzen. Hier haben wir Glück, denn der Rand liegt mit den Nullstellen zusammen. Wären die Nullstellen nicht fix gewesen, hätte a Einfluss auf sie gehabt und sie verschoben, dann hätte man auch variable Integrationsgrenzen annehmen müssen, dann wäre auch nicht mehr der Flächeninhalt von 1 für die Hälfte sicher gewesen usw. Ich denke also, dass man kein allgemeines Vorgehen so ohne weiters angeben kann, an sich müsste man die Schnittstellen des Graphen mit dem Rechteck allgemein berechnen, hier hätte man also die Ränder 0 und -1 als Geraden auffassen können (y=-1) und eventuell so die Schnittstelle ausrechnen können. Soweit meine Gedanken
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Mi 10.09.2008 | | Autor: | vi-chan |
| Aufgabe | | Das Rechteck A(0|1), B(-1|1), C(-1|-1), D(0|-1) soll durch den Graphen der Funktion f(x)= $ [mm] a(x^4 [/mm] $ - x²) im Verhältnis 2:1 geteilt werden.Wie muss a>0 gewählt werden? |
hmm du hast also für den Flächeninhalt 1/3 eingegeben, und für a kommt dann -2,5 raus...
aber der FLächeninhalt beträgt ja 2 FE... 1/3 von 2FE sind aber 2/3
hab halt (als bei mir -10 rauskam) 2/3 von 2 FE genommen...
wieso hast du einfach 1/3 genommen? o.o
neue Frage... ich ich verstehe das mit dem Flächeninhalt immernoch nicht so ganz.. wie kommst du auf den betrag von 0-1? könntest du mir das vllt in mehreren Schritten erklären? T-T
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> Das Rechteck A(0|1), B(-1|1), C(-1|-1), D(0|-1) soll durch
> den Graphen der Funktion f(x)= [mm]a(x^4[/mm] - x²) im Verhältnis
> 2:1 geteilt werden.Wie muss a>0 gewählt werden?
> hmm du hast also für den Flächeninhalt 1/3 eingegeben, und
> für a kommt dann -2,5 raus...
>
> aber der FLächeninhalt beträgt ja 2 FE... 1/3 von 2FE sind
> aber 2/3
> hab halt (als bei mir -10 rauskam) 2/3 von 2 FE
> genommen...
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> wieso hast du einfach 1/3 genommen? o.o
Aber klar erkläre ich dir das gerne :) Wie gesagt, man kann meiner Meinung nach schlecht mit [mm] \bruch{2}{3}*2=1\bruch{1}{3} [/mm] rechnen, denn der Graph der Funktion geht immer nur durch die Hälfte des Rechtecks! Deswegen solltest du dir eine Skizze anlegen. Ich kann ja nur die Fläche mit dem Integral zwischen der Kurve und der x-Achse berechnen und das ist auf Grund der Nullstelle und des Verlaufes des Graphen immer nur eine Hälfte des Rechtecks!
Das bedeutet, dass in jedem Fall die andere Hälfte des Rechtecks unberührt bleibt. Das bedeutet, dass wir doch die eine Hälfte des Rechteckes schon einmal als gegeben ansehen können, also die Fläche von 1 haben wir sozusagen von Anfang an. Damit das Rechteck jetzt im Verhältnis 2:1 geteilt wird, muss zu dem Flächeninhalt von 1 (der Hälfte des Rechtecks) noch soviel Fläche von der zweiten Hälfte dazukommen, dass es genau [mm] 1\bruch{1}{3} [/mm] gibt, denn dann haben wir sozusagen auf der einen Seite [mm] \bruch{2}{3} [/mm] der Gesamtfläche und auf der anderen nur [mm] \bruch{1}{3}. [/mm] Und da wir schon 1 FE haben, bleiben von 1,333-1 eben noch genau [mm] \bruch{1}{3} [/mm] an Fläche übrig, soweit klar? Und das habe ich als Integralslösung angegeben und bin so auf die gwünschten 2,5 gekommen. Wenn du dir einen Graphen mit a=10 malst wirst du auch sehen, dass der zu weit geht, sprich er würde über -1/1 gehen und damit nicht mehr ganz im Rechteck liegen, damit wäre auch keine Teilung gegeben, aber ich hoffe ja nur, dass meine Lösung richtig ist, genau wissen tue ich es auch nicht, aber es passt vom Ergebnis und von der Zeichnung
PS: Solltest du das mit der 1 immer noch nicht verstehen, vielleicht hilft dir meine Skizze oder du rechnest es so:
Du berechnest die Fläche zwischen den Graphen f(x) und y=1 zwischen den Grenzen 0 und -1. Das entspricht dann zwar dem Inhalt von 1 für y=1 aber macht ja nichts :)
> neue Frage... ich ich verstehe das mit dem Flächeninhalt
> immernoch nicht so ganz.. wie kommst du auf den betrag von
> 0-1? könntest du mir das vllt in mehreren Schritten
> erklären? T-T
Also du hast die Punkte A(0/1) B(0/-1) C(-1/1) und D(-1/-1). Habe jetzt einfach mal eigene Buchstaben genommen, ka wie deine waren aber das ist ja egal.
So mit bloßem Auge siehst du doch sofort, dass die Differenz in x-Richtung 1 beträgt und in y-Richtung 2 oder?
Rechnerisch würdest du so vorgehen:
Du weißt, dass es ein Rechteck ist und du suchst die Punkte, die eine Seite bilden und auf der x-Achse liegen. Offenbar sind das die Paare A/B und C/D
Das heißt, zwei Punkte liegen bei x=0 und zwei bei x=-1 Daher beträgt die Differenz zwischen beiden [mm][mm] |x_2-x_1| [/mm] Die größere Koordinate - die kleinere Koordinate. D.h. die Seite a deines Rechtecks ist |0-1|=1. Die Seite b deines Rechteckes ist |1-(-1)|=2. Damit hast du einen Flächeninhalt von A=ab=1*2=2
:) Allgemein gilt also einfach die Differenz zwischen den Koordinaten, wobei das eben nur solange geht, wie die Seiten parallel zu den Achsen sind, natürlich hätte es auch ein "schiefes" Rechteck sein können, dann musst du die Seiten extra mit Pytagoras oder vekotrrechnugn berechnen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:45 Do 11.09.2008 | | Autor: | Adamantin |
Ich habe das ganze mal in FunkyPlot eingegeben und dir ein Screen erstellt. Das Rechteck sind die bunten Geraden und der markierte Flächeninhalt beträgt extakt [mm] 1,\overline{3}
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 Do 11.09.2008 | | Autor: | vi-chan |
vielen Dank! Habe es jetzt verstanden!!!
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