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Wenn ich eine aus einem Rechteck und einer Kurve zusammengesetzte Fläche habe, wie berechne ich den oberen Teil?
Gemessen wurde hier die Geschwindigkeit in einem Zeitintervall 0 bis 20s. [mm] v_{0} [/mm] ist die Startgeschwindigkeit und [mm] t_{1} [/mm] das Ende der Zeitspanne. [mm] v_{1} [/mm] ist die Höchstgeschwindigkeit.
Die erste Teilfläche ist bis [mm] v_{0}=5\bruch{m}{s} [/mm] und [mm] t_{1}=20s. [/mm] da dies ein Rechteck ist, kann ich einfach [mm] 5\bruch{m}{s}*20s [/mm] rechnen, um die Strecke von 100m zu erhalten.
Wie mache ich das aber bei der Kurve? Als Tipp ist noch gegeben, dass die begrenzende Kurve zwischen den beiden Maximalwerten [mm] v_{0} [/mm] und [mm] v_{1} [/mm] mit : [mm] -cos(\bruch{2\pi*t}{t_{1}}) [/mm] beschrieben ist.
Zwar kann man schon erkennen, dass die Fläche zwischen der Kurve und dem "Rechteck" genau [mm] \bruch{v_{1}-v_{0}}{2}*t_{1} [/mm] ist, aber wie würde ich das mit dem Beweis, mit einem Integral berechnen?
Vielen Dank im Voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:51 Do 19.02.2015 | | Autor: | chrisno |
Weißt Du etwas von einem Zusammenhang zischen Integral und Fläche?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:28 Do 19.02.2015 | | Autor: | alfonso2020 |
Natürlich. Wenn ich das Integral bilde zwischen zwei Grenzen, erhalte ich die Fläche unter diesem Graphen.
Nur ich habe Probleme beim integrieren dieser Funktion :/
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> Wenn ich eine aus einem Rechteck und einer Kurve
> zusammengesetzte Fläche habe, wie berechne ich den oberen
> Teil?
> Gemessen wurde hier die Geschwindigkeit in einem
> Zeitintervall 0 bis 20s. [mm]v_{0}[/mm] ist die Startgeschwindigkeit
> und [mm]t_{1}[/mm] das Ende der Zeitspanne. [mm]v_{1}[/mm] ist die
> Höchstgeschwindigkeit.
>
> Die erste Teilfläche ist bis [mm]v_{0}=5\bruch{m}{s}[/mm] und
> [mm]t_{1}=20s.[/mm] da dies ein Rechteck ist, kann ich einfach
> [mm]5\bruch{m}{s}*20s[/mm] rechnen, um die Strecke von 100m zu
> erhalten.
>
> Wie mache ich das aber bei der Kurve? Als Tipp ist noch
> gegeben, dass die begrenzende Kurve zwischen den beiden
> Maximalwerten [mm]v_{0}[/mm] und [mm]v_{1}[/mm] mit :
> [mm]-cos(\bruch{2\pi*t}{t_{1}})[/mm] beschrieben ist.
>
> Zwar kann man schon erkennen, dass die Fläche zwischen der
> Kurve und dem "Rechteck" genau [mm]\bruch{v_{1}-v_{0}}{2}*t_{1}[/mm]
> ist, aber wie würde ich das mit dem Beweis, mit einem
> Integral berechnen?
Hallo alfonso
ich habe ziemlich gerätselt, um herauszufinden, worum
es hier eigentlich gehen soll. Ich hoffe nun, den Kern der
Aufgabe trotz der Schwierigkeiten erfasst zu haben.
Es geht um die Beschreibung einer Bewegung durch ihren
Geschwindigkeitsverlauf, und gesucht ist die Strecke,
welche im Zeitintervall von $\ [mm] t\, =\, [/mm] 0\ s$ bis $\ [mm] t\,=t_1\,=\,20\, [/mm] s$ zurückgelegt
wird. Die Geschwindigkeitsfunktion $\ v(t)$ beginnt bei $\ [mm] t\, =\, [/mm] 0$ und
endet bei $\ t\ =\ 20$ mit dem Minimalwert $\ [mm] v_0=5 [/mm] m/s$, erreicht
bei $\ [mm] t\, =\, t_1/2 \, =\, 10\, [/mm] s$ den Maximalwert $\ [mm] v_1$ [/mm] . Dabei hat die
Geschwindigkeitsfunktion im Detail die Form einer Cosinus-
kurve, wobei Start- und Endpunkt gerade in zwei aufeinander
folgende Tiefpunkte der Cosinuskurve fallen.
Für eine derartige Funktion kann man den folgenden Ansatz
machen:
$\ v(t)\ =\ [mm] c+a*cos(\omega*t-d)$ [/mm]
Für den vorliegenden Fall wäre $\ [mm] c\,=\,\frac{v_0+v_1}{2}$ [/mm] , $\ [mm] a\,=\,\frac{v_0-v_1}{2}$ [/mm] ,
$\ [mm] \omega\,=\,\bruch{2\pi}{t_{1}}$ [/mm] und $\ [mm] d\,=\,0$ [/mm] .
Die im Zeitintervall $\ [mm] 0\le\,t\,\le\,20$ [/mm] zurückgelegte Strecke
berechnet sich dann als
$\ s\ =\ [mm] \integral_{0}^{20}v(t)\,dt$
[/mm]
LG , Al-Chwarizmi
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Tut mir leid, dass es Verständnisschwierigkeiten gab.
Wo füge ich dann das Minuszeichen ein? Es fehlt ja noch das Minuszeichen vor dem cos, also müsste das Minuszeichen auch vor dem Cosinus stehen, sprich v(t) würde wie folgt aussehen:
[mm] v(t)=c-a*cos(\omega*t-d)
[/mm]
oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Do 19.02.2015 | | Autor: | fred97 |
Es ist doch $ [mm] a=\frac{v_0-v_1}{2}<0 [/mm] $
FRED
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Das stimmt. Hatte ich übersehen.
Vielen Dank an Euch beiden.
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