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Forum "Integralrechnung" - Fläche berechnen
Fläche berechnen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Fläche berechnen: Teilaufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:25 Mo 12.03.2012
Autor: pc_doctor

Aufgabe
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen den Kurven f und g über dem Intervall I

a ) f(x) = [mm] x^{3} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] , g(x) = [mm] x^{2} [/mm] +x
I = [ -2 ; 1]


Hallo,
ich habe mir erstmal eine Skizze gemacht :

[Externes Bild http://www.bilder-space.de/show_img.php?img=0ab04f-1331565560.jpg&size=original]


So , wenn wir jetzt die linke Seite betrachten , kann ich ja mit der Funktion g erstmal die rot markierte Fläche im Intervall [ -2 ; -1 ] ausrechnen , oder ?
Also
[mm] A_1 [/mm] = [mm] \integral_{-2}^{-1}{x^{2} +x dx} [/mm]

Dann schneiden sich g und f im x-Punkt -1 und bei 0.
Die Schnittpunkte kann ich dann als Integrationsgrenze nehmen , also so hier :

[mm] A_2 [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{0}{(x^{3}+x^{2}) - (x^{2}+x) dx} [/mm]

Was mache ich aber auf der rechten Seite ?
Soll ich kann ja erstmal die eingeschlossene Fläche berechnen mit den Schnittpunkten als Integrationsgrenzen und dann nochmal die Fläche , die von g eingeschlossen wird  , und dann alles addieren , ist das richtig ?

        
Bezug
Fläche berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:31 Mo 12.03.2012
Autor: Steffi21

Hallo, du hast die Aufgabe noch nicht verstanden, ich habe dir mal die drei zu berechnenden Flächen hellblau markiert,

[Dateianhang nicht öffentlich]

Steffi

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Fläche berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:36 Mo 12.03.2012
Autor: pc_doctor


> Hallo, du hast die Aufgabe noch nicht verstanden, ich habe
> dir mal die drei zu berechnenden Flächen hellblau
> markiert,
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> Steffi


Vielen Dank für die Skizze.

Also , kann ich dann so hier beginnen ? :

[mm] A_1 [/mm] = [mm] \integral_{-2}^{-1}{f(x)- g(x) dx} [/mm]

[mm] A_2 [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{0}{g(x) - f(x) dx} [/mm]

[mm] A_3 [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) - g(x) dx} [/mm]

A = [mm] A_1 [/mm] + [mm] A_2 [/mm] + [mm] A_3 [/mm] ?

Bezug
                        
Bezug
Fläche berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Mo 12.03.2012
Autor: Steffi21

Hallo

[mm] A_1=\integral_{-2}^{-1}{g(x)- f(x) dx} [/mm]

[mm] A_2=\integral_{-1}^{0}{f(x) - g(x) dx} [/mm]

[mm] A_3=\integral_{0}^{1}{g(x) - f(x) dx} [/mm]

A [mm] =A_1+A_2+A_3 [/mm]

du hast obere- und untere Funktion verwechselt, du kannst natürlich auch Betragsstriche setzen

Steffi

Bezug
                                
Bezug
Fläche berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Mo 12.03.2012
Autor: pc_doctor

Aber die Integration an sich ist richtig , oder ?

Bezug
                                        
Bezug
Fläche berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:49 Mo 12.03.2012
Autor: Steffi21

Hallo, ja, wenn dann auch Stammfunktion und Einsetzen der Grenzen klappt, Steffi

Bezug
                                                
Bezug
Fläche berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:53 Mo 12.03.2012
Autor: pc_doctor

Okay , vielen Dank für die Antwort.
Dann mache ich das ganz schnell und komme dann zu der nächsten Teilaufgabe.

Kurz noch eine kleine Frage :

Immer wenn zwei Funktionen eine Fläche einschließen , muss ich die Differenz zwischen diesen beiden nehmen , oder ?

Gibt es in der Mathematik eine Möglichkeit eine Fläche , die zum Beispiel von 3 Funktionen eingeschlossen wird , zu berechnen , oder kann man das nur mit zwei Funktionen ?

Bezug
                                                        
Bezug
Fläche berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 Mo 12.03.2012
Autor: Steffi21

Hallo

"Immer wenn zwei Funktionen eine Fläche einschließen , muss ich die Differenz zwischen diesen beiden nehmen"

ja, setze aber zur Sicherheit die Betragsstriche

"Gibt es in der Mathematik eine Möglichkeit eine Fläche , die zum Beispiel von 3 Funktionen eingeschlossen wird , zu berechnen , oder kann man das nur mit zwei Funktionen ?"

ich gebe dir mal als Antwort ein Bild, betrachte mal das Intervall
[mm] 0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0,5

[Dateianhang nicht öffentlich]

Steffi


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                                
Bezug
Fläche berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:17 Mo 12.03.2012
Autor: pc_doctor

Danke für deine Mühe , aber ich glaube mit 3 Funktionen geht das ganze nicht mehr , wie soll man das berechnen , da muss man Teilfächen berechnen.

Kommen wir aber nun zur Aufgabe zurück :

Ich habe für [mm] A_1 [/mm] = [mm] \bruch{9}{4} [/mm] raus.

[mm] A_1 [/mm] = [mm] \integral_{-2}^{-1}{g(x)-f(x) dx} [/mm]

[mm] A_1 [/mm] = [mm] \integral_{-2}^{-1}{(x^2 + x) - (x^{3} +x^2) dx} [/mm] =

[mm] [\bruch{1}{3}x^{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] ] - [ [mm] \bruch{1}{4}x^{4}+ \bruch{1}{3}x^{3} [/mm] ]

[mm] A_1 [/mm] = [mm] \bruch{9}{4} [/mm]

Stimmt die ERSTE Teilfläche so ?

Bezug
                                                                        
Bezug
Fläche berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:37 Mo 12.03.2012
Autor: MathePower

Hallo pc_doctor,

> Danke für deine Mühe , aber ich glaube mit 3 Funktionen
> geht das ganze nicht mehr , wie soll man das berechnen , da
> muss man Teilfächen berechnen.
>  
> Kommen wir aber nun zur Aufgabe zurück :
>  
> Ich habe für [mm]A_1[/mm] = [mm]\bruch{9}{4}[/mm] raus.
>  
> [mm]A_1[/mm] = [mm]\integral_{-2}^{-1}{g(x)-f(x) dx}[/mm]
>  
> [mm]A_1[/mm] = [mm]\integral_{-2}^{-1}{(x^2 + x) - (x^{3} +x^2) dx}[/mm] =
>  
> [mm][\bruch{1}{3}x^{3}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}x^2[/mm] ] - [
> [mm]\bruch{1}{4}x^{4}+ \bruch{1}{3}x^{3}[/mm] ]
>  
> [mm]A_1[/mm] = [mm]\bruch{9}{4}[/mm]
>  
> Stimmt die ERSTE Teilfläche so ?  


Ja.[ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
Fläche berechnen: 2. Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:47 Mo 12.03.2012
Autor: pc_doctor

Aufgabe
f(x) = [mm] \bruch{1}{2} x^{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm]

g(x) = [mm] x^{3} [/mm] - x

I : [ -1 ; 2 ]

Okay , alles klar vielen Dank für die Korrektur.

Kommen wir nun zur 2. Aufgabe :


Die Skizze :
http://s1.directupload.net/images/120312/3xo2zcxg.jpg

Als erstes :

[mm] A_1 [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{0}{f(x)-g(x) dx} [/mm]

[mm] A_2 [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{f(x)-g(x) dx} [/mm]

[mm] A_3 [/mm] = [mm] \integral_{1}^{2}{f(x)-g(x) dx} [/mm]

Bei der zweiten Teilfläche bin ich mir nicht sicher , weil das ja unterhalb der x-Achse liegt :s

Bezug
                                                                                        
Bezug
Fläche berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 Mo 12.03.2012
Autor: Steffi21

Hallo, du hast erneut obere- und untere Funktion verwechselt, setze also Betragsstriche, auch wenn die Fläche unterhalb der x-Achse liegt, kannst du so weiter rechnen, beginne bitte für eine neue Aufgabe einen neuen Thread, Steffi

Bezug
                                                                                                
Bezug
Fläche berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:59 Mo 12.03.2012
Autor: pc_doctor

Alles klar vielen Dank , ich weiß , ich mache aus Gewohnheit immer f(x) - g(x) , sobald das Ergebnis negativ ist , mache ich daraus , durch die Betragsstriche , einen positiven Wert , das geht doch , oder ?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Fläche berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:01 Mo 12.03.2012
Autor: MathePower

Hallo pc_doctor,

> Alles klar vielen Dank , ich weiß , ich mache aus
> Gewohnheit immer f(x) - g(x) , sobald das Ergebnis negativ
> ist , mache ich daraus , durch die Betragsstriche , einen
> positiven Wert , das geht doch , oder ?  


Sicher geht das.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Fläche berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:07 Mo 12.03.2012
Autor: pc_doctor

Alles klar , vielen Dank an alle !

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