Fläche eines Dreiecks < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Mi 05.03.2008 | | Autor: | LDM |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi
also ich schreib morgen Mathe Klasur, und hab grad paar Aufgaben gerechnet und bei einer Teilaufgabe hängts bei mir.
Und zwar ist eine Gerade und eine Ebene gegeben. Ich ab scho alles berechnet also Normalenform, Schnittpunkt und -winkel von Gerade und Ebene, Normalenvektor, HNF etc.
Nun ist ein weiterer Punkt auf der Gerade g gegeben P (x/y/z) des brauch ich auch nicht nachzuweisen dass der da drauf ist. Von P wird ein Lot gefällt auf die Ebene E. Dieser Lotfußpunkt ist der unbekannte Punkt F.
Ferner ist der Aufpunkt der gerade A und den von mir schon berechneten Schnittpunkt der Gerade g mit der Ebene E nähmlich S gegeben. Und nun soll ich die Fläche des Dreiecks ASF berechnen, Also Aufpunkt,Schnittpunkt und Unbekannter Fußpunkt.
jemand ne Idee?
danke
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Hallo LDM,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hi
> also ich schreib morgen Mathe Klasur, und hab grad paar
> Aufgaben gerechnet und bei einer Teilaufgabe hängts bei
> mir.
> Und zwar ist eine Gerade und eine Ebene gegeben. Ich ab
> scho alles berechnet also Normalenform, Schnittpunkt und
> -winkel von Gerade und Ebene, Normalenvektor, HNF etc.
> Nun ist ein weiterer Punkt auf der Gerade g gegeben P
> (x/y/z) des brauch ich auch nicht nachzuweisen dass der da
> drauf ist. Von P wird ein Lot gefällt auf die Ebene E.
> Dieser Lotfußpunkt ist der unbekannte Punkt F.
> Ferner ist der Aufpunkt der gerade A und den von mir schon
> berechneten Schnittpunkt der Gerade g mit der Ebene E
> nähmlich S gegeben. Und nun soll ich die Fläche des
> Dreiecks ASF berechnen, Also eAufpunkt,Schnittpunkt und
> Unbekannter Fußpunkt.
> jemand ne Idee?
> danke
Für den unbkannten Fußpunkt F bildest die Gerade [mm]h:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP}+\lambda*\overrightarrow{n}[/mm], wobei [mm]\overrightarow{n}[/mm] der Normalenvektor der Ebene [mm]E:\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}\right) \* \overrightarrow{n}=0[/mm] ist.
Die Gerade h wird nun mit der Ebene E geschnitten und damit erhält man den gesuchten Fußpunkt F.
2 Möglichkeiten fallen mir da ein:
1. Berechnung mit Hilfe des Vektorprodukts: [mm] A_{\Delta ASF}=\bruch{1}{2}*\vmat{\overrightarrow{SA}¸\times \overrightarrow{SF}}[/mm]
2. Berechnung mit Hilfe des Skalarproduktes:
Es ist:
[mm] A_{\Delta ASF}=\bruch{1}{2}*g*h=\bruch{1}{2}*\vmat{SF}*h[/mm]
Um die Höhe h zu berechnen, gehe wie folgt vor:
Fälle das Lot vom Punkt A auf die Gerade [mm]i:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OS}+\mu*\overrightarrow{SF}[/mm]
Da der Vektor [mm]\overrightarrow{OA}-\left(\overrightarrow{OS}+\mu*\overrightarrow{SF}\right)[/mm] senkrecht auf den Vektor [mm]\overrightarrow{SF}[/mm] stehen muß, gilt folgende Gleichung:
[mm]\left(\overrightarrow{OA}-\left(\overrightarrow{OS}+\mu*\overrightarrow{SF}\right)\right) \* \overrightarrow{SF}=0[/mm]
Dann gilt: [mm]h=\vmat{\overrightarrow{OA}-\left(\overrightarrow{OS}+\mu*\overrightarrow{SF}\right)}[/mm].
Demnach [mm] A_{\Delta ASF}=\bruch{1}{2}*\vmat{SF}*\vmat{\overrightarrow{OA}-\left(\overrightarrow{OS}+\mu*\overrightarrow{SF}\right)}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Mi 05.03.2008 | | Autor: | LDM |
Ja danke, aber was genau meinst du mit dem OP vektor? meinst du da den Punkt P oder was anderes? weil wenn ich eine Gerade aus P + alpha * Normalvektor bilde kommt für das Alpha n komischer Bruch raus was dann die Rechnung unnötig kompliziert und unschön macht. und noch eine andere Frage. Ich soll noch die gleichung der Ebene E' angeben die senkrecht auf der genannten Ebene E steht und den genannten Punkt P und einen neuen Punkt Q der angegeben ist einschließt.kannst du da helfen ?
danke
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Hallo LDM,
> Ja danke, aber was genau meinst du mit dem OP vektor?
> meinst du da den Punkt P oder was anderes? weil wenn ich
> eine Gerade aus P + alpha * Normalvektor bilde kommt für
> das Alpha n komischer Bruch raus was dann die Rechnung
> unnötig kompliziert und unschön macht. und noch eine andere
> Frage. Ich soll noch die gleichung der Ebene E' angeben die
> senkrecht auf der genannten Ebene E steht und den genannten
> Punkt P und einen neuen Punkt Q der angegeben ist
> einschließt.kannst du da helfen ?
> danke
Mit [mm]\overrightarrow{OP}[/mm] wird der Ortsvektor vom Ursprung O zum Punkt P bezeichnet.
Zu der anderen Frage, die Ebene E' die senkrecht auf E und die Punkte P und Q enthält.
Nun, die Ebene E besitzt den Normalenvektor [mm]\overrightarrow{n}[/mm], welcher auch ein Richtungsvektor der Ebene E' ist.
Da die Ebene E' die Punkte P und Q enthalten soll, ergibt sich ein weiterer Richtungsvektor zu [mm]\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}[/mm].
Somit ergibt sich als Normalenvektor der Ebene E' zu [mm]\overrightarrow{n'}=\overrightarrow{n} \times \left(\overrrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}\right)[/mm]
Dann lautet die Gleichung der Ebene E':
[mm]E':\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{OP}\right) \* \overrightarrow{n'}=0[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mi 05.03.2008 | | Autor: | LDM |
so super danke;)
nochwas wenns geht;) was wenn eine gerade auf eine gerade senkrecht sein soll? und eine gerade auf eine ebene?
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Hallo LDM,
> so super danke;)
> nochwas wenns geht;) was wenn eine gerade auf eine gerade
> senkrecht sein soll? und eine gerade auf eine ebene?
1. Wenn zwei Geraden zueinander senkrecht sein sollen, heisst das nichts anderes als, dass ihrer Richtungsvektoren senkrecht aufeinander stehen.
[mm]g:\overrrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b}[/mm]
[mm]h:\overrrightarrow{x}=\overrightarrow{c}+u*\overrightarrow{d}[/mm]
Wenn nun [mm]g \perp h[/mm] sein soll, dann muß gelten: [mm]\overrightarrow{b} \* \overrightarrow{d}=0[/mm]
2. Wenn eine Gerade senkrecht zu einer Ebene sein soll, dann sind zwangsweise der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor derr Ebene E linear abhängig, d.h. der Richtungsvektor der Geraden ist ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene.
[mm]g:\overrrightarrorw{x}=\overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b}[/mm]
[mm]E:\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}\right) \* \overrightarrow{n}=0[/mm]
Wenn nun [mm]g \perp E[/mm] sein soll, dann muß gelten: [mm]\overrightarrow{b} = \lambda * \overrightarrow{n}[/mm].
Anders ausgedrückt der Richtungsvektor der Geraden g steht senkrecht auf den Richtungsvektoren der Ebene E.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Mi 05.03.2008 | | Autor: | LDM |
super vielen dank
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