Fläche maximal < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Aus einem Spiegel mit der Breite = 100cm und der Höhe = 60 cm ist ein 4cm hohes und 10 cm breites Stück herausgebrochen. Um den Spiegel zu reparieren schneidet der Glaser den Spiegel neu zurecht. Wie muss er schneiden, damit er einen möglichst großen Spiegel (Flächeninhalt) erhält? |
Wir haben uns zu zweit dieser Aufgabe angenommen aber kommen wirklich keinen Schritt weiter, wobei wir davon ausgehen, dass wir einen kleinen Ideenfehler haben. Hier zunächst mal unsere ersten Überlegungen
Eine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
![[]](/images/popup.gif) http://schl4mp3.sc.funpic.de/skizze.png(eigener FTP)
Für die Flächenformel des neuen Spiegels (Rechtecks) haben wir uns folgendes gedacht:
A=(100-x)*(60-y)
x=[0;10] und y[0;4]
Wenn x=0, dann ist y=4
Wenn y=0, dann ist x=10
Wir wissen nicht ob es an einem einfachen Denkfehler liegt oder ob es einfach nicht möglich ist, aber wir bekommen die Nebenbedingung nicht auf die Rolle. Wir würden uns sehr darüber freuen, wenn ihr einen Tipp oder gar schon die Nebenbedingung mit Erklärung für uns hättet.
An eine Nebenbedingung mit dem Umfang (da gegebene Seitenlängen) haben wir auch schon gedacht, aber sind unsicher, da wir ja nur den Umfang des großen Rechtecks gegeben haben.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Di 01.09.2009 | | Autor: | abakus |
> Aus einem Spiegel mit der Breite = 100cm und der Höhe = 60
> cm ist ein 4cm hohes und 10 cm breites Stück
> herausgebrochen. Um den Spiegel zu reparieren schneidet der
> Glaser den Spiegel neu zurecht. Wie muss er schneiden,
> damit er einen möglichst großen Spiegel (Flächeninhalt)
> erhält?
> Wir haben uns zu zweit dieser Aufgabe angenommen aber
> kommen wirklich keinen Schritt weiter, wobei wir davon
> ausgehen, dass wir einen kleinen Ideenfehler haben. Hier
> zunächst mal unsere ersten Überlegungen
>
> Eine Skizze:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> http://schl4mp3.sc.funpic.de/skizze.png(eigener FTP)
>
> Für die Flächenformel des neuen Spiegels (Rechtecks)
> haben wir uns folgendes gedacht:
> A=(100-x)*(60-y)
>
> x=[0;10] und y[0;4]
> Wenn x=0, dann ist y=4
> Wenn y=0, dann ist x=10
>
> Wir wissen nicht ob es an einem einfachen Denkfehler liegt
> oder ob es einfach nicht möglich ist, aber wir bekommen
> die Nebenbedingung nicht auf die Rolle. Wir würden uns
> sehr darüber freuen, wenn ihr einen Tipp oder gar schon
> die Nebenbedingung mit Erklärung für uns hättet.
> An eine Nebenbedingung mit dem Umfang (da gegebene
> Seitenlängen) haben wir auch schon gedacht, aber sind
> unsicher, da wir ja nur den Umfang des großen Rechtecks
> gegeben haben.
Hallo,
es ist zwar möglich, über den Strahlensatz y durch x (oder umgedreht) auszudrücken, aber einfacher ist die Koordinatenmethode.
Setze die Figur in ein geeignetes Koordinatensystem (Ursprung z.B. in der linken unteren oder in der rechten oberen Ecke) und drücke die Bruchkante in Form einer Geradengleichung y=f(x)=mx+n aus.
Jeder Punkt der Bruchkante hat dann die Koordinaten (x;f(x)).
Unter Verwendung dieser Koordinaten kannst du den Flächeninhalt des neuen Spiegels in Abhängigkeit von x ausdrücken.
Gruß Abakus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Ich danke dir sehr für diesen Tipp, wir werden jetzt die Aufgabe mal so angehen, wenn wir zu einem Ergebnis / einer neuen Frage kommen, werde ich sie hier stellen.
Danke auf jeden Fall schonmal :)
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Ich habe mich jetzt gerade mal nach den anderen Hausaufgaben drangesetzt und die Aufgabe nocheinmal unter Berücksichtigung deines Tipps durchgerechnet und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:
Flächengleichung:
A=(100-x)*(60-y)
Geradengleichung aus Steigungsdreieck mit den Punkten P1(90|60); P2(100|56):
g(x)=-0,4x+96=y
Einsetzen:
y=0,4x+96 [mm] \Rightarrow [/mm] A=(100-x)*(60-y)
A(x)=(100-x)*(0,4x-36)
[mm] A(x)=-0,4x^2+76x-3600
[/mm]
Ableitungen:
A'(x)=-0,8x+76
A''(x)=-0,8
notwendige Bedingung:
A'(x)=0
x=95
hinreichende Bedingung: (für Hochpunkt)
A'(x)=0 [mm] \wedge [/mm] A''(x)<0
A''(95)=-0,8 [mm] \Rightarrow [/mm] HochPunkt
Zweite Länge herausfinden, also Ergebnis in Geradengleichung einsetzen:
g(95)=58
=> 95*58 = 5510 (Maximaler Flächeninhalt)
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Hallo Dominik,
du musst beachten, dass x=95 gar nicht möglich ist,
denn der Spiegel ist ja nur 90 cm breit.
EDIT: Hier habe ich mich geirrt - aber die Lösung
x=95 ist trotzdem falsch: siehe meinen anderen Beitrag !
Das beste, das realisierbar ist, ist x=90 und y=56,
was auf [mm] A_{max}=5040 [/mm] führt.
Es handelt sich hier um ein "Randmaximum".
LG Al-Chw.
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Also der Spiegel ist insgesamt 100cm (90+10(Bruchkante)) breit, so steht es zumindest in der Aufgabe. Wenn ich in der Überlegung falsch liege, korrigiert mich bitte, aber dann würden 95 gehen, denn als Randwerte habe ich ja 90*60 oder 100*56
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> Also der Spiegel ist insgesamt 100cm (90+10(Bruchkante))
> breit, so steht es zumindest in der Aufgabe. Wenn ich in
> der Überlegung falsch liege, korrigiert mich bitte, aber
> dann würden 95 gehen, denn als Randwerte habe ich ja 90*60
> oder 100*56
Sorry, da habe ich offenbar die Maßangaben in der
Zeichnung zuerst falsch interpretiert - ich sah die
90 cm als gesamte Breite des Spiegels an.
Trotzdem passiert aber qualitativ genau das, was ich
beschrieben habe: man kommt zu einem Randmaximum,
jetzt halt mit einem neuen Spiegel von [mm] 100cm\times{56cm}=5600cm^2 [/mm] .
Das Problem liegt da:
Du (oder andere Beteiligte) haben x und y auf zwei
verschiedene Arten interpretiert und die beiden
Betrachtungsweisen durcheinander gemixt. Das kann
nicht gut kommen. Mit den in deiner Zeichnung
definierten Größen x und y hättest du für die
Schnittkante auf die Gleichung 2x+5y=20
kommen sollen. Fläche [mm] A(x)=-0.4x^2-16x+5600.
[/mm]
Ableitung A'(x)=-0.8x-16 . A'(x)=0 für x=-20.
x=-20 ist aber unmöglich; deshalb Maximum bei x=0,
[mm] A_{max}=A(0)=5600 [/mm] .
LG
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> > Also der Spiegel ist insgesamt 100cm (90+10(Bruchkante))
> > breit, so steht es zumindest in der Aufgabe. Wenn ich in
> > der Überlegung falsch liege, korrigiert mich bitte, aber
> > dann würden 95 gehen, denn als Randwerte habe ich ja 90*60
> > oder 100*56
>
> Sorry, da habe ich offenbar die Maßangaben in der
> Zeichnung zuerst falsch interpretiert - ich sah die
> 90 cm als gesamte Breite des Spiegels an.
> Trotzdem passiert aber qualitativ genau das, was ich
> beschrieben habe: man kommt zu einem Randmaximum,
> jetzt halt mit einem neuen Spiegel von
> [mm]100cm\times{56cm}=5600cm^2[/mm] .
>
> Das Problem liegt da:
>
> Du (oder andere Beteiligte) haben x und y auf zwei
> verschiedene Arten interpretiert und die beiden
> Betrachtungsweisen durcheinander gemixt. Das kann
> nicht gut kommen. Mit den in deiner Zeichnung
> definierten Größen x und y hättest du für die
> Schnittkante auf die Gleichung 2x+5y=20
> kommen sollen. Fläche [mm]A(x)=-0.4x^2-16x+5600.[/mm]
> Ableitung A'(x)=-0.8x-16 . A'(x)=0 für x=-20.
> x=-20 ist aber unmöglich; deshalb Maximum bei x=0,
> [mm]A_{max}=A(0)=5600[/mm] .
>
>
> LG
hallo, da mich das problem doch irgendwie zunehmend interessiert:
die schnittkante ist doch nur willkürlich eingezeichnet. die steigung könnte ja steiler oder weniger steil sein. deshalb bin ich mit dem ansatz rangegangen, dass die schnittkante durch eine funktionenschar dargestellt wird:
> naja wenn man die schneidekante als funktionenschar sehen würde mit den parametern k und b gäbs dann die funktion
> f(x)=k-b*x
> dann weiss man noch, dass alle geraden durch den punkt (56/90) müssen.
> f(90)=k-b*90=56 k=56+b*90
> also
> nur wenn man das dann in A=x*f(x)einsetzt und ableitet gibts dann am ende ein x in abhängigkeit von b.
> aber wie löst man das nun so auf dass am ende die auf den 1. blick richtige lösung x=100 rauskommt
wie könnte man denn nun auch mathematisch beweisen, dass das maximum wirklich bei x=100 und y=56 ist? wenn die ecke nur minimal anders rausgebrochen wär, wärs evtl nicht mehr so einfach festzustellen, wo nun das maximum ist.
ist der ansatz falsch? oder der rechenweg unpassend?
gruß tee
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> die schnittkante ist doch nur willkürlich eingezeichnet.
> die steigung könnte ja steiler oder weniger steil sein.
Nein - nach der Zeichnung ist das abgebrochene Stück
ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen 10 cm
und 4 cm.
.....
.....
> aber wie löst man das nun so auf dass am ende die auf den
> 1. blick richtige lösung x=100 rauskommt
> wie könnte man denn nun auch mathematisch beweisen, dass
> das maximum wirklich bei x=100 und y=56 ist?
(bzw. mit der anderen Interpretation der Variablen: x=0 und y=4 !)
Da die einzige Nullstelle von A'(x) ausserhalb des Defini-
tionsbereiches liegt und die Funktion A(x) innerhalb
ihres Definitionsintervalls streng monoton verläuft,
müssen die Extremalstellen am Rande dieses Inter-
valls liegen. Wo dann das Minimum und wo das Maximum
angenommen wird, zeigt eine einfache Rechnung.
LG Al-Chw.
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> > die schnittkante ist doch nur willkürlich eingezeichnet.
> > die steigung könnte ja steiler oder weniger steil sein.
>
> Nein - nach der Zeichnung ist das abgebrochene Stück
> ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen 10 cm
> und 4 cm.
meine frage bezieht sich darauf, dass wenn es ein 4-eckiges stück mit diesen längen wäre (dass so ne ecke rausbricht ist dann wohl eher kunst), wie diese berechnung dann ablaufen würde. mit dem ansatz über die funktionenschar?!
ps: und die skizze scheint erst danach erstellt worden zu sein, also ist nicht ausgeschlossen, dass meine interpretation des vierecks nicht auch gemeint war
>
> .....
> .....
>
> > aber wie löst man das nun so auf dass am ende die auf den
> > 1. blick richtige lösung x=100 rauskommt
> > wie könnte man denn nun auch mathematisch beweisen,
> dass
> > das maximum wirklich bei x=100 und y=56 ist?
>
> (bzw. mit der anderen Interpretation der Variablen: x=0
> und y=4 !)
>
> Da die einzige Nullstelle von A'(x) ausserhalb des Defini-
> tionsbereiches liegt und die Funktion A(x) innerhalb
> ihres Definitionsintervalls streng monoton verläuft,
> müssen die Extremalstellen am Rande dieses Inter-
> valls liegen. Wo dann das Minimum und wo das Maximum
> angenommen wird, zeigt eine einfache Rechnung.
>
>
> LG Al-Chw.
gruß tee
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Hallo Tee und natürlich auch alle anderen,
ich glaube die Skizze ist einfach etwas missverständlich.
Wenn man die roten Striche, die mit x und y gekennzeichnet sind weglässt hat man vermutlich die original Skizze, wie man sie auch in vielen Mathebüchern findet.
Es soll also eine schöne Ecke - wie schon mal erwähnt wurde ein rechtwinkeliges Dreieck - herausgebrochen sein.
Die Lösung für dieses Problem ist ja nun schon genug erläutert worden und denke ich mal soweit klar, oder?
Geht man nur von dem Aufgabentext ohne der Skizze aus, könnte das herausgebrochene Stück natürlich auch anders aussehen, z.b. ein Rechteck oder abgerundet oder wie auch immer. Das einzige was klar ist, ist dass das herausgebrochene Stück innerhalb des Rechtecks der Größe 4 cm x10 cm liegen muss.
- Ist es das Rechteck selber, ist die Sache ziemlich einfach, denn es gibt ja nur zwei geeignete Kandidaten (100x56 und 90x60), die man überprüfen muss.
- Liegt die Bruchkante irgendwo zwischen dem rechtwinkeligen Dreieck und dem Rechteck, erhält man auch die gleiche Lösung (100cm x 56cm).
Denn: zu jedem Punkt P auf der Bruchkante existiert ein Punkt P' auf gleicher Höhe auf der Dreieckskante.
Das Rechteck mit dem Eckpunkt P das überbleiben könnte ist kleinergleich als das Rechteck mit dem Eckpunkt P'. Dieses wiederum ist kleinergleich dem Rechteck der Größe 100cm x 56cm.
- Liegt die Bruchkante innerhalb des Dreiecks, müsste man mehr über diese Bruchkante erfahren, um das Maximum ausrechnen zu können. Dann ist es tatsächlich möglich ein anderes größtes Rechteck (Spiegel) zu bekommen.
Ich hoffe ich habe die Fragen jetzt beantwortet und nicht noch mehr Verwirrung gestiftet.
Grüße Ned.
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> meine frage bezieht sich darauf, dass wenn es ein
> 4-eckiges stück mit diesen längen wäre (dass so ne ecke
> rausbricht ist dann wohl eher kunst), wie diese berechnung
> dann ablaufen würde. mit dem ansatz über die
> funktionenschar?!
Wenn das rausgebrochene Stück ein exaktes Rechteck
wäre, braucht man keine Funktionenschar, sondern
muss nur genau zwei mögliche neue Rechtecke betrachten:
100*56=5600 oder aber 90*60=5400 .
Nach meinen eigenen Erfahrungen mit zerbrochenen
Spiegeln oder Fensterscheiben sind jedoch die Bruch-
kanten normalerweise gekrümmt, kaum einmal
geradlinig und schon gar nicht Zickzacklinien 
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Do 03.09.2009 | | Autor: | fencheltee |
> Hallo Dominik,
>
> du musst beachten, dass x=95 gar nicht möglich ist,
> denn der Spiegel ist ja nur 90 cm breit. Das beste,
> das realisierbar ist, ist x=90 und y=56, was auf
> [mm]A_{max}=5040[/mm] führt.
>
> Es handelt sich hier um ein "Randmaximum".
>
>
> LG Al-Chw.
wenn ich mir die skizze dazu anschaue, sollte doch das beste sein bei 56*100? die frage ist ja eigentlich doch eher nur, ob ich die hochkante abschneide, oder die seitenkante (jeweils in höhe des bruchschadens). direkt beide seiten abzuschneiden führt dann natürlich zu 90*56. oder?
gruß tee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Do 03.09.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, mir kam die Aufgabe gestern schon spanisch vor, die Punkte (90;60) und (100;56) liegen doch garnicht auf der "Schneidekante", wenn man die linke untere Ecke in (0;0) ich schneide auch einen Spiegel von 100 mal 56, was fehlt an der Aufgabenstellung?? hat es überhaupt etwas mit Extremwertberechnung zu tun??? Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Do 03.09.2009 | | Autor: | fencheltee |
> Hallo, mir kam die Aufgabe gestern schon spanisch vor, die
> Punkte (90;60) und (100;56) liegen doch garnicht auf der
> "Schneidekante", wenn man die linke untere Ecke in (0;0)
> ich schneide auch einen Spiegel von 100 mal 56, was fehlt
> an der Aufgabenstellung?? hat es überhaupt etwas mit
> Extremwertberechnung zu tun??? Steffi
naja wenn man die schneidekante als funktionenschar sehen würde mit den parametern k und b gäbs dann die funktion
f(x)=k-b*x
dann weiss man noch, dass alle geraden durch den punkt (56/90) müssen.
f(90)=k-b*90=56 [mm] \gdw [/mm] k=56+b*90
also [mm] f_b(x)=56+b*90-b*x
[/mm]
nur wenn man das dann in A=x*f(x)einsetzt und ableitet gibts dann am ende ein x in abhängigkeit von b.
aber wie löst man das nun so auf dass am ende die auf den 1. blick richtige lösung x=100 rauskommt (b und x der funktionenschar also = 0?)
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![[]](http://schl4mp3.sc.funpic.de/skizze.png){kind=small}
http://schl4mp3.sc.funpic.de/skizze.png