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Forum "Integralrechnung" - Fläche unter Graphen
Fläche unter Graphen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Fläche unter Graphen: Integralrechnung,Graphen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 Di 20.09.2011
Autor: abitcocoa

Hallo ich muss die 15c, 16d und 17a auf dem Bild was ich hier unten anhängen werde lösen.
Für 15c habe ich bereits ein Ergebnis, 8/3. Kann das jemand bestätigen ?
Bei der 16 und 17 weiß ich gar nicht weiter... Ich bräuchte mal eine Anleitung/Ansatz wie ich die beiden Aufgaben lösen könnte.


[Externes Bild http://img204.imageshack.us/img204/924/cloud2go190920111902.jpg]

Danke im Voraus!

PS:Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=467076, doch leider antwortet mir keiner und ich habe mit diesem Forum schon einmal gute Erfahrungen gemacht ;)

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Fläche unter Graphen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:33 Di 20.09.2011
Autor: schachuzipus

Hallo,

du behauptest, Urheber deiner eigenen Schulbuchaufgaben zu sein?

Das ist schon sehr dreist ...


Gruß

schachuzipus


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Bezug
Fläche unter Graphen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:45 Di 20.09.2011
Autor: abitcocoa

Entschuldige ich dachte ich hätte die Checkbox darunter angewählt. Leider kann ich die Graphen nicht anders zeigen als auf dem Bild, habe es nun auf einen anderen web service hochgeladen, wo ich es runter löschen werde, nach dem ich ich die Aufgaben mit eurer Hilfe lösen konnte.

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Fläche unter Graphen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:28 Di 20.09.2011
Autor: abitcocoa

Hm keiner eine Idee ?
Schade hatte gehofft hier Hilfe zu finden. Falls ich mit dem Bild gegen Urheberrechte verstoßen habe entschuldige ich mich. Ich werde das Bild auf dem Webservice sofort nach Lösung der Aufgaben entfernen.

Ich hoffe jemand kann mir hier unter die Arme greifen.

Vielen vielen Dank


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Fläche unter Graphen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:46 Di 20.09.2011
Autor: abitcocoa

Ok habe nun die Aufgaben handschriftlich auf ein Blatt abgeschrieben und abgezeichnet.. ich hoffe das geht urheberrechtlich klar ? Wenn nicht dann sagt es mir bitte und ich hoffe somit auch eure Unterstützung nun zu bekommen.
Hier das Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
        
Bezug
Fläche unter Graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 Di 20.09.2011
Autor: Steffi21

Hallo

[Dateianhang nicht öffentlich]

unterteile die Aufgabe in die zwei Flächen

[mm] \integral_{-1}^{0}{2-x^{2}-(-2x-x^{2}) dx}+\integral_{0}^{1}{2-x^{2}-x dx} [/mm]

Steffi

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Fläche unter Graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:17 Di 20.09.2011
Autor: abitcocoa

Hey danke für deine Antwort und die tolle Graphik. Ich hab das nun so versucht und komme anstatt auf 8/3 nun auf 1/6 stimmt das ?

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Fläche unter Graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 Di 20.09.2011
Autor: schachuzipus

Hallo abitcocoa,


> Hey danke für deine Antwort und die tolle Graphik. Ich hab
> das nun so versucht und komme anstatt auf 8/3 nun auf 1/6
> stimmt das ?

Nein!

Schreibe bitte deine Rechnung hier auf, wenn du Kontrolle haben willst.

Es ist ja nicht Sinn der Sache, dass der MR alle Rechnungen nochmal rechnen soll.

Es geht nur, wenn wir anhand deiner Rechnung kontrollieren ...



Also tipps mal ein, wir haben einen sehr guten Editor ...

Gruß

schachuzipus


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Fläche unter Graphen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:29 Di 20.09.2011
Autor: abakus


> Hallo abitcocoa,
>  
>
> > Hey danke für deine Antwort und die tolle Graphik. Ich hab
> > das nun so versucht und komme anstatt auf 8/3 nun auf 1/6
> > stimmt das ?
>
> Nein!
>  
> Schreibe bitte deine Rechnung hier auf, wenn du Kontrolle
> haben willst.
>  
> Es ist ja nicht Sinn der Sache, dass der MR alle Rechnungen
> nochmal rechnen soll.
>  
> Es geht nur, wenn wir anhand deiner Rechnung kontrollieren
> ...
>  
>
>
> Also tipps mal ein, wir haben einen sehr guten Editor ...
>  
> Gruß
>  
> schachuzipus
>  

Außerdem müsste schon eine grobe Abschätzung (Annäherung durch Dreiecke) der beiden gefärbten Flächen zeigen, dass sie jeweils einen Inhalt von ca. 1 haben, die Gesamtfläche also ca. 2 Flächeneinheiten betragen muss.
Gruß Abakus

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Fläche unter Graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:32 Di 20.09.2011
Autor: abitcocoa

Ok also Schnittpunkte ausrechnen da komme ich unter anderem auch auf -1 0 und 1 wie Steffi.
Dann folgendes:
[mm] \integral_{-1}^{0}{2-x^{2}-(-2x-x^{2}) dx}+\integral_{0}^{1}{2-x^{2}-x dx} [/mm]
Habe dann folgendes Dort stehen:
[mm] \left[ 2x-\bruch{1}{3}x^3+x^2-\bruch{1}{3}x^3\right]-1 [/mm] 0 [mm] +\left[ 2x- \bruch{1}{3}x^3 - \bruch{1}{2}x^2\right] [/mm] 1 0

Ich denke mal die Stammfunktionen sind falsch ?

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Fläche unter Graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:36 Di 20.09.2011
Autor: Steffi21

Hallo, die Stammfunktion zu [mm] x^{2} [/mm] lautet [mm] \bruch{1}{3}*x^{3} [/mm] überprüfe auch die Stammfunktion zu x im 2. Integral, Steffi

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Fläche unter Graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:38 Di 20.09.2011
Autor: abitcocoa

Ich denke mal ich hatte in der ersten Klammer einen Vorzeichenfehler beim zweiten [mm] 1/3x^3 [/mm] oder ? Wenn ich es zu - ändere kommt 5/6 raus, was ja von der Zeichnung her stimmen könnte und ich wüsste auch sonst nicht was an den Stammfunktionen sonst falsch sein sollte.

Achso und ich hatte das als [mm] 1/3x^3 [/mm] habe es nur falsch in dieser Formel eingegeben.

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Fläche unter Graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:40 Di 20.09.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Ich denke mal ich hatte in der ersten Klammer einen
> Vorzeichenfehler beim zweiten [mm]1/3x^3[/mm] oder ? Wenn ich es zu
> - ändere kommt 5/6 raus, was ja von der Zeichnung her
> stimmen könnte und ich wüsste auch sonst nicht was an den
> Stammfunktionen sonst falsch sein sollte.
>  Achso und ich hatte das als [mm]1/3x^3[/mm] habe es nur falsch in
> dieser Formel eingegeben.

Das mit [mm] $1/2x^2$ [/mm] auch!

Ansonsten stimmen die Stammfunktionen, in der ersten hebt sich [mm] $\frac{1}{3}x^3$ [/mm] weg.

Dein Ergebnis stimmt immer noch nicht, rechne vor, wie du die Grenzen einsetzt!

Achte auf Minusklammern!

Rechne das Ganze am Besten getrennt aus, dann ist die Fehleranfälligkeit geringer ...

Gruß

schachuzipus


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Fläche unter Graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:45 Di 20.09.2011
Autor: abitcocoa

Ok als Stammfunktion habe ich dann:
[mm] \left[ 2x-\bruch{1}{3}x^3+x^2-\bruch{1}{3}x^3\right]-1 [/mm] 0 [mm] +\left[ 2x- \bruch{1}{3}x^3 - \bruch{1}{2}x^2\right] [/mm] 1 0
So nun einsetzen also:
[mm] \left[ 2*(-1)-\bruch{1}{3}(-1)^3+(-1)^2-\bruch{1}{3}(-1)^3\right]+\left[ 2- \bruch{1}{3}- \bruch{1}{2}\right] [/mm] = -1/3 + 7/6 = 5/6

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Fläche unter Graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:50 Di 20.09.2011
Autor: Steffi21

Hallo, es geht also um das 1. Integral

[mm] \left[ 2x-\bruch{1}{3}x^3+x^2-\bruch{1}{3}x^3\right] [/mm]

es ist immer noch ein Vorzeichenfehler

[mm] \left[ 2x-\bruch{1}{3}x^3+x^2+\bruch{1}{3}x^3\right] [/mm]

[mm] \left[ 2x+x^2\right] [/mm]

warum hast du den Integranden nicht vor Bestimmung der stammfunktion vereinfacht

Steffi



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Fläche unter Graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Di 20.09.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Ok also Schnittpunkte ausrechnen da komme ich unter anderem
> auch auf -1 0 und 1 wie Steffi.
>  Dann folgendes:
>  [mm]\integral_{-1}^{0}{2-x^{2}-(-2x-x^{2}) dx}+\integral_{0}^{1}{2-x^{2}-x dx}[/mm]
>  
> Habe dann folgendes Dort stehen:
>  [mm]\left[ 2x-\bruch{1}{3}x^3+x^2\red{-}\bruch{1}{3}x^3\right]-1[/mm] 0  [mm]+\left[ 2x- \bruch{1}{3}x^3 - \bruch{1}{2}x^2\right][/mm] 1 0

Das rote Minus ist falsch, du hast weiter oben doch eine Minusklammer, das gibt nach dem Auflösen derselben [mm] $+x^2$, [/mm] mithin als Stfkt. [mm] $+\frac{1}{3}x^3$, [/mm] so dass sich diese beiden Summanden wegheben.

Du hättest auch geschickter vor dem Integrieren mal die Minusklammer aufgelöst und den Integranden vereinfacht, man sieht doch, dass sich die [mm] $x^2$-Terme [/mm] wegheben ...



>  
> Ich denke mal die Stammfunktionen sind falsch ?

Bis auf einen VZF sind sie richtig!

Gruß

schachuzipus


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Fläche unter Graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:48 Di 20.09.2011
Autor: abitcocoa

ja so hatte ich es ja vorher und da kam ja 1/6 raus
weil dann aufgelöst -1+7/6 rauskam = 1/6

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Fläche unter Graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Di 20.09.2011
Autor: Steffi21

Hallo, eben nicht, das 1. Integral ergibt

[mm] 2x+2x^{2} [/mm] mit den Grenzen 0 (obere) und -1 (untere)

0-(-2+1)=

Steffi

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Fläche unter Graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:55 Di 20.09.2011
Autor: abitcocoa

ah ok -.- dummer Fehler also kommt statt -1 +1 raus und wir haben dann 7/6 +1 = 13/6...
vielen Dank !

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Fläche unter Graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 Di 20.09.2011
Autor: Steffi21

Hallo, korrekt, Steffi

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Fläche unter Graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 Di 20.09.2011
Autor: abitcocoa

Ok nun zur 16d ich denke ich weiß wie es geht also Schnittpunkte berechnen dann an diesen Stellen Integrieren und dann das Ergebnis = 4,5 also A und nahc dem Parameter a umstellen.
Doch ich komme leider nicht an die Schnittstellen hier mein Ansatz:
g(x)= [mm] ax+2a^2, f(x)=x^3 [/mm] A=4,5
g(x) = f(x)
[mm] ax+2a^2 [/mm] = [mm] x^3 |-x^3 [/mm]
[mm] -x^3+2a^2+ax [/mm] = 0 | und nun ?

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Fläche unter Graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:05 Di 20.09.2011
Autor: Steffi21

Hallo, f(x) hast du nicht korrekt notiert [mm] f(x)=x^{2} [/mm] du hast dann eine quadratische Gleichung, Steffi



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Fläche unter Graphen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:08 Di 20.09.2011
Autor: abitcocoa

Ach das seh ich jetzt erst ich hab die 16b genommen und diese auch noch mit der 16d gemischt :D
Also ich muss die 16d machen:
[mm] f(x)=x^3 [/mm] und g(x) = a^2x und A=12, A liegt im 1.Quadranten...
ich werde es mal gerade versuchen und dann berichten.

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Fläche unter Graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:11 Di 20.09.2011
Autor: abitcocoa

Ok nun folgende Umformung:
[mm] x^3 [/mm] = a^2x |-a^2x
[mm] x^3 [/mm] -a^2x = 0 |Ausklammern
[mm] x(x^2-a^2) [/mm] = 0

=> x1=0 und wie bekomme ich x2 und x3 ?

Ich würde sagen x2=a und [mm] x^3=-a [/mm]
Stimmt das ?

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Fläche unter Graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:17 Di 20.09.2011
Autor: Steffi21

Hallo

aber bitte sauber aufschreiben:

[mm] x_1=0 [/mm]
[mm] x_2=-a [/mm]
[mm] x_3=a [/mm]

beachte jetzt, wo A liegt

Steffi

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Fläche unter Graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 Di 20.09.2011
Autor: abitcocoa

Dann habe ich folgendes:
[mm] \left[ \bruch{1}{4}x^4-\bruch{a^2x^2}{2} = 12\right] [/mm]
==>
[mm] \left[ \bruch-{1}{4}a^4-\bruch{a^4}{2} = 12\right] [/mm]
==>
[mm] \left[ \bruch{1}{4}a^4-\bruch{a^2x^2}{2} = 12\right] [/mm] |*2
==>
[mm] \left[ \bruch-{3}{2}a^4 = 24\right] [/mm] |vierte Wurzel | *2/3
= gerundet
-3,26

Bezug
                                                                                                                
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Fläche unter Graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:37 Di 20.09.2011
Autor: Steffi21

Hallo, die zweite Zeile sieht noch gut aus, du hast ja die Grenzen eingesetzt

[mm] \bruch{1}{4}*a^{4}-\bruch{1}{2}*a^{4}=12 [/mm]

ich gab dir vorhin den Hinweis, Betragsstriche zu setzen, du weißt ja nicht, was ist "obere" - bzw.  "untere" Funktion

in deiner 3. Zeile steht plötzlich wieder "x", du hast doch aber die Grenzen schon eingesetzt

[mm] |\bruch{1}{4}*a^{4}-\bruch{1}{2}*a^{4}|=12 [/mm]

jetzt fasse mal zusammen

Steffi



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Fläche unter Graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 Di 20.09.2011
Autor: abitcocoa

ok dann habe ich [mm] -1/4a^4 [/mm] = 12 |*4
[mm] -a^4 [/mm] = 48 | vierte Wurzel
-a = 2,632 |*-1
a = 2,632
korrekt nun ?

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Fläche unter Graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:52 Di 20.09.2011
Autor: Steffi21

Hallo, im Prinzip korrekt, belasse aber a=4. Wurzel aus 48 (ich weiß immer nicht, wo ich das im Editor finde) Steffi

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Fläche unter Graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Di 20.09.2011
Autor: abitcocoa

Und da A im ersten Quadranten ist lautet dann das Integral
[mm] \int_{-a}^{0}(x^3)-(a^2x)\, [/mm] dx = 12
und dann auflösen nach a, richtig soweit ?

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Fläche unter Graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:21 Di 20.09.2011
Autor: Steffi21

Hallo, die Grenzen sind zu tauschen 0 ist untere Grenze, a ist obere Grenze, setze dein Integral in Betragsstriche, Steffi

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Fläche unter Graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:04 Di 20.09.2011
Autor: abitcocoa

Alles klar last but not least 17a
f(x) = 2x g(x) = x h(x) = [mm] (2/x^2) [/mm]
Ich würde folgendes machen:
Schnittpunkte von f(x) = h(x) und g(x) = h(x)
und dann Integral.... aber ich mach erstmal die Schnittpunkte und dann mal schauen


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Fläche unter Graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:07 Di 20.09.2011
Autor: Steffi21

Hallo, der Ansatz ist ok, Steffi

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Fläche unter Graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Di 20.09.2011
Autor: abitcocoa

Ok habe nun als Schnittstellen folgende:
0, [mm] \wurzel[2]{2}, -\wurzel[2]{2}, [/mm] nochmal 0, 1 und -1
So laut der Zeichnung kann es schonmal nicht negativ oder null sein, das heißt es bleiben nur wurzel 2 und 1 übrig
also müsste das Integral lauten:
[mm] \int_{1}^{\wurzel[2]{2}} [/mm] Was kommt hierhin [mm] ?\, [/mm] dx

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Fläche unter Graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Di 20.09.2011
Autor: Steffi21

Hallo

setze gleich:

[mm] 2x=\bruch{2}{x^{2}} [/mm]

[mm] x^{3}=1 [/mm]

x=1

[mm] x=\bruch{2}{x^{2}} [/mm]

[mm] x^{3}=2 [/mm]

[mm] x=2^{\bruch{1}{3}} [/mm] oder auch als dritte Wurzel geschrieben

[Dateianhang nicht öffentlich]

die Skizzze hilft dir

Steffi



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Fläche unter Graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:23 Di 20.09.2011
Autor: abitcocoa

Ok aber du schriebst gerade 7/3 aber es ist /wurzel {3}{2} oder ?
Ok wenn dem so ist dann wie muss ich das Integral bilden also ich bin mir irgendwie unsicher ob ich alle 3 Funktionen subtrahieren muss oder nicht oder wie halt... :D ??

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Fläche unter Graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:32 Di 20.09.2011
Autor: Steffi21

Hallo, der Exponent ist [mm] \bruch{1}{3} [/mm]

blaue Fläche

[mm] \integral_{0}^{1}{2x-x dx} [/mm]

gelbe Fläche

[mm] \integral_{1}^{2^{\bruch{1}{3}}}{\bruch{2}{x^{2}}-x dx} [/mm]

mache immer "obere" Funktion minus "untere" Funktion

Steffi

Bezug
                                                                                                                                                        
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Fläche unter Graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 Di 20.09.2011
Autor: abitcocoa

Ok die null als Grenze nimmst du aus 2x = x oder ?

Bezug
                                                                                                                                                                
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Fläche unter Graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:39 Di 20.09.2011
Autor: Steffi21

Hallo, die Schnittstelle und Grenze 0 bekommst du durch Gleichsetzen der beiden Funktionen:

2x=x

x=0

Steffi

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Bezug
Fläche unter Graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:46 Di 20.09.2011
Autor: abitcocoa

Ok habe nun folgendes ausgrechnet:
[mm] \integral_{0}^{1}{2x-x dx} [/mm] = 0,11
dann
[mm] \integral_{1}^{2^{\bruch{1}{3}}}{\bruch{2}{x^{2}}-x dx} [/mm] = 0,5
und dann
0,11-0,5 = -0,39
stimmt das ?

Bezug
                                                                                                                                                                                
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Fläche unter Graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:55 Di 20.09.2011
Autor: Steffi21

Hallo leider nein,

[mm] \integral_{0}^{1}{2x-x dx}=\integral_{0}^{1}{x dx} [/mm]

stelle uns doch mal zunächst die Stammfunktionen vor, bedenke auch, beide Flächen sind zu addieren!

Steffi

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Fläche unter Graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:58 Di 20.09.2011
Autor: abitcocoa

OK habe folgendes:
[mm] \integral_{0}^{1}{2x-x dx} [/mm] = [mm] [x^2-1/2x^2]1 [/mm] 0 = 0,5
und
[mm] \integral_{1}^{2^{\bruch{1}{3}}}{\bruch{2}{x^{2}}-x dx} [/mm] = [-2/x - [mm] 1/2x^2]2^1/3 [/mm] 1 = 0,1189
und dann addieren also
0,5+0,1189 = 0,6189

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Fläche unter Graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:05 Di 20.09.2011
Autor: Steffi21

Hallo, korrekt, Steffi



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Fläche unter Graphen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:05 Di 20.09.2011
Autor: abitcocoa

perfekt, vielen vielen Dank für deine ausgiebige Hilfe, klasse Forum !

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