Fläche von zweier Funktionen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Mo 06.09.2010 | | Autor: | Maqqus |
| Aufgabe | Inhalt von Flächen berechnen, die von den Graphen zweier Funktionen eingeschlossen werden.
[mm] f1(x)=-x^3+9x
[/mm]
[mm] f2(x)=-2x^2 [/mm] |
Ich muss in dieser Aufgabe den Flächeninhalt von den X-Werten 0 bis -3 berechnen. Bzw. Muss ich den Bereich wo sich die beiden Funktionen schneiden rausrechnen.
Ich habe folgende Ergebnisse ausgerechnet:
[mm] \integral_{-3}^{0}{f(-x^3+9x) dx} [/mm] = 20,25 FE
Damit habe ich schonmal den gesamten Flächeninhalt von 0 bis -3 von der ersten Funktion. Nun müsste ich den kleinen Bereich der zweiten Funktion ausrechnen und von dem eben errechneten Flächeninhalt abziehen.
Erstmal muss ich nun die Schnittpunkte der beiden Funktionen errechnen. Dabei habe ich folgende Werte heraus:
S(4,16|y) und bei S(-2,16|y)
Damit weiß ich nun, dass ich den Integral von 0 bis -2,16 berechnen muss.
[mm] \integral_{-2,16}^{0}{f(-2x^2) dx} [/mm] = 6,72 FE
Um den Bereich nun zu berechnen muss ich nur noch FE1 - FE2 rechnen. 20,25FE - 6,72FE = 13,53FE
Ist meine Rechnung korrekt?
Liebe Grüße und vielen Dank.
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Hallo, interessant sind hier doch die Schnittstellen und nicht die Schnittpunkte, durch Gleichsetzen
[mm] -x^{3}+9x=-2x^{2}
[/mm]
[mm] 0=-x^{3}+9x+2x^{2}
[/mm]
[mm] 0=-x(x^{2}-2x-9)
[/mm]
[mm] x_1=1-\wurzel{10}
[/mm]
[mm] x_2=0
[/mm]
[mm] x_3=1+\wurzel{10}
[/mm]
die Schnittstellen sind deine Integrationsgrenzen, nun ist also zu lösen
[mm] \integral_{1-\wurzel{10}}^{0}{-2x^{2}-(-x^{3}+9x) dx}+\integral_{0}^{1+\wurzel{10}}{-x^{3}+9x-(-2x^{2})dx}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Mo 06.09.2010 | | Autor: | Maqqus |
Demnach ist meine Rechnung korrekt?
[mm] 1+\wurzel{10} [/mm] = 4,16
und
[mm] 1-\wurzel{10} [/mm] = -2,16
Habe ich denn die Fläche korrekt berechnet?
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Hallo Maqqus!
> [mm]1+\wurzel{10}[/mm] = 4,16
>
> und
>
> [mm]1-\wurzel{10}[/mm] = -2,16
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Habe ich denn die Fläche korrekt berechnet?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da habe ich etwas anderes heraus. Meine Gesamtfläche beträgt [mm] $A_{\text{ges.}} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 15{,}41 \ [mm] \text{[F.E.]}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Mo 06.09.2010 | | Autor: | Maqqus |
Ich habe folgendes gerechnet:
[mm] \integral_{-3}^{0}{f(-x^3+9x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{-2,16}^{0}{f(-2x^2) dx} [/mm] = 14,076 FE
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Mo 06.09.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Berechnung der roten Fläche stimmt, aber irgendwie war die Grundaufgabenstellung dann missverstandlich.
Bei der hätte ich nämlich auch Steffis Lösung interpretiert.
Und das wär folgende Fläche:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Mo 06.09.2010 | | Autor: | Maqqus |
Vielen Dank.
Wenn ich deine markierten Bereiche berechnen will. Müsste ich doch folgendes rechnen.
[mm] \integral_{0}^{1+\wurzel{10}}{f(-x^3+9x) dx} -\integral_{0}^{1+\wurzel{10}}{f(-2x^2) dx} [/mm] = 50,99 FE
Damit habe ich den rechten blauen Bereich berechnet, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Mo 06.09.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Vielen Dank.
>
> Wenn ich deine markierten Bereiche berechnen will. Müsste
> ich doch folgendes rechnen.
>
> [mm]\integral_{0}^{1+\wurzel{10}}{f(-x^3+9x) dx} -\integral_{0}^{1+\wurzel{10}}{f(-2x^2) dx}[/mm]
> = 50,99 FE
>
> Damit habe ich den rechten blauen Bereich berechnet,
> richtig?
Yep. Du kannst aber auch erst die "Differenzfunktion" [mm] s(x):=(-x^{3}+9x)-(-2x^{2}) [/mm] bestimmen, und dann das Integral [mm] \integral_{0}^{1+\wurzel{10}}s(x)dx [/mm] bestimmen.
Dann umgehst du das doppelte Bilden der Stammfunktion.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Mo 06.09.2010 | | Autor: | Maqqus |
Vielen Dank.
Demnach müsste nun das Endergebnis für den blauen Bereich ca. 6,72FE + 50,99FE = 57,71FE
Liebe Grüße und vielen vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Mo 06.09.2010 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, ich habe mal FunkyPlot befragt, mit 8,83FE und 51FE, stelle mal bitte deine Rechnung vor, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Mo 06.09.2010 | | Autor: | Maqqus |
$ [mm] \integral_{0}^{1+\wurzel{10}}{f(-x^3+9x) dx} -\integral_{0}^{1+\wurzel{10}}{f(-2x^2) dx} [/mm] $ = 50,99 FE
Das scheint ja zu stimmen, wenn du 51 raus hast.
Den linken blauben Bereich habe ich dann einfach mit dem Integral berechnet. Und zwar mit folgenden Werten:
[mm] \integral_{1-\wurzel{10}}^{0}{f(-2x^2) dx} [/mm] = -6,74
Der Wert [mm] 1-\wurzel{10} [/mm] ist der Schnittpunkt von den beiden Funktionen.
Ist die Rechnung falsch?
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Hallo, berechnest du die linke Fläche, so ("obere Funktion minus untere Funktion")
[mm] \integral_{1-\wurzel{10}}^{0}{-2x^{2}-(-x^{3}+9x) dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{1-\wurzel{10}}^{0}{x^{3}-2x^{2}-9x) dx}
[/mm]
jetzt Stammfunktion berechnen und Grenzen einsetzen
Steffi
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