Fläche zwischen zwei Funktione < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Niaga |
| Aufgabe | Die Graphen [mm] G_{a} [/mm] begrenzen für a>0 mit der Urpsrungsgeraden durch den Punkt R( [mm] \wurzel{ \bruch{1}{2a}}|\wurzel{ \bruch{e}{2a}}) [/mm] im 1. Quadranten eine Fläche vollständig. Berechnen Sie deren Flächeninhalt in Abhängigkeit von a.
Funktion der Graphen [mm] G_{a}: f_{a}(x)=xe^{-ax²+1} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zuerst habe ich die Ursprungsgerade errechnet mit [mm] m=\bruch{y}{x}, [/mm] da ursprungsgerade ist n=0
demnach heißt diese gerade [mm] t(x)=\wurzel{e}x
[/mm]
dann habe ich die rechte Integrationsgrenze errechnet, da beide Funktionen im Ursprung eine Nullstelle haben. Diese ist also die linke Integrationsgrenze.
Die rechte Integrationsgrenze ist bei mir [mm] x=\wurzel{\bruch{1}{2a}}
[/mm]
so. Um jetzt das Integral zu errechnen, ziehe ich von [mm] f_{a}(x) [/mm] t(x) ab.
also [mm] \integral_{0}^{\wurzel{\bruch{1}{2a}}}{f_{a}(x)-t(x) dx}
[/mm]
die Stammfunktion von t(x) zu finden ist ja nicht das Ding. Aber ich krieg nicht die Stammfunktion von [mm] f_{a}(x) [/mm] raus... könnte mir da jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Niaga!
Das gesuchte Integral der Funktion [mm] $f_a(x)$ [/mm] lässt sich ermitteln mittels Substitution $z \ := \ [mm] -a*x^2+1$ [/mm] .
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ -2a*x$ [mm] $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] -\bruch{1}{2a*x}*dz$
[/mm]
Kommst Du damit weiter?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Niaga |
okay, jetzt habe ich also [mm] -\bruch{1}{2a} \integral_{a}^{b}{e^z dz} -\wurzel{e} \integral_{0}^{\wurzel{\bruch{1}{2a}}}{x dx}
[/mm]
ich habe noch nie verstanden, wie ich auf die neuen Integrationsgrenzen komme... Könntest du mir vielleicht erklären, wie man das (allgemein) eigentlich überhaupt anstellt? :D
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Niaga!
Wenn man den Weg mit der Substitution der Integrationsgrenzen umgehen möchte, kann man das Integral auch zunächst unbestimmt lösen und am Ende wieder re-substituieren.
Aber hier die Vorgehensweise mit den Grenzen ...
Wir hatten ja: $z \ = \ z(x) \ = \ [mm] -a*x^2+1$
[/mm]
Und hier setzen wir einfach die beiden x-Integrationsgrenzen $0_$ bzw. [mm] $\wurzel{\bruch{1}{2a}}$ [/mm] ein:
[mm] $z_{\text{unten}} [/mm] \ = \ z(0) \ = \ [mm] -a*0^2+1 [/mm] \ = \ 1$
[mm] $z_{\text{oben}} [/mm] \ = \ [mm] z\left(\wurzel{\bruch{1}{2a}}\right) [/mm] \ = \ [mm] -a*\left(\wurzel{\bruch{1}{2a}}\right)^2+1 [/mm] \ = \ [mm] -a*\bruch{1}{2a}+1 [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}+1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Niaga |
okay, vielen dank :)
nur frage ich mich jetzt: die neue obere grenze ist kleiner als die neue untere grenze. gibt es da nicht probleme bei der lösung, bzw. wird diese denn nicht verfälscht?
das problem haben wir im unterricht auch mal angekratzt, aber ob es nun wirklich ein problem ist, haben wir nicht geklärt. spielt es denn eine rolle, ob die grenzen vertauscht sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Di 02.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Niaga!
Nein, die Grenzen werden so beibehalten, auch wenn nun die untere Grenze größer ist als die obere.
Das Vertauschen der Grenzen würde ja nur ein Vertauschen des Vorzeichens des Integrationsergebnisses bewirken.
Aber die neue Funktion [mm] $-\bruch{1}{2a}*e^z$ [/mm] liegt auch (im Gegensatz zur Ausgangsfunktion) unterhalb der x-Achse, so dass hier ein negatives Ergebnis entstünde. Dadurch wird das vermeintlich "falsche" Einsetzen der Grenzen wieder ausgeglichen.
Beispielskizze für $a \ = \ 2$ :
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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