Fläche zwischen zwei Funktione < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
ich hoffe ihr könnt mir helfen, bin schon am verzweifeln, nicht einmal ein Mathe-LKler konnte mir helfen.
Also, folgende Aufgabe:
Gegeben ist die gebrochen rationale Funktion [mm] f(x)=x^3/(x^2-2x)
[/mm]
1.Berechnen sie die Fläche A(a), die zwischen der Funktion f(x) und
g(x)=x+2 liegt und von x=4 und x=a(a>4) begrenzt wird!
2. Berechnen sie den lim a->unendlich von A(a)!
3. Berechnen sie das Integral von 1 bis 3 von 1/(x-2)
Ich hoffe die Fragen sind verständlich gestellt.
Es wär echt extrem nett von euch, wenn ihr mir da helfen könntet.
Wir haben echt alles probiert. Vom Prinzip wüsste ich ja, wie die 1. Aufgabe gehen würde, aber ich weiß nicht, wie die Stammfunktion von f(x) ist.
BITTE HELFT MIR!!!
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:54 Do 25.05.2006 | | Autor: | Disap |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hi,
Hallo ZallingerQuirin, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> ich hoffe ihr könnt mir helfen, bin schon am verzweifeln,
> nicht einmal ein Mathe-LKler konnte mir helfen.
> Also, folgende Aufgabe:
> Gegeben ist die gebrochen rationale Funktion
> [mm]f(x)=x^3/(x^2-2x)[/mm]
> 1.Berechnen sie die Fläche A(a), die zwischen der Funktion
> f(x) und
> g(x)=x+2 liegt und von x=4 und x=a(a>4) begrenzt wird!
Gesucht ist hier allerdings nicht die Stammfunktion von f(x), sondern von h(x), die sich aus f(x) - g(x) ergibt. Natürlich kann man davon auch zwei Integrale machen. Ich würde es aber wie folgt rechnen:
[mm] $A=\integral_{4}^{a}{[f(x)-g(x) ]dx}$
[/mm]
[mm] $=\integral_{4}^{a}(\frac{x^3}{x^2-2x}-(x+2)) [/mm] dx$ Vorzeichen in der Klammer ändern sich
[mm] $=\integral_{4}^{a}(\blue{\frac{x^3}{x^2-2x}}-x-2) [/mm] dx$
Für den blauen Term musst du eine Polynomdivision machen. Du erhälst das Ergebnis:
[mm] $=\integral_{4}^{a}(\blue{x+2+\frac{4x}{x^2-2x}}-x-2) [/mm] dx$ Hierbei kannst du in dem Bruch wieder einmal (das x) kürzen, es ergibt sich:
[mm] $=\integral_{4}^{a}(\blue{x+2+\frac{4}{x-2}}-x-2) [/mm] dx$ Was fällt auf?
[mm] $=\integral_{4}^{a}(\red{x+2}+\blue{\frac{4}{x-2}}\red{-x-2}) [/mm] dx$ Das rote kürzt sich weg
[mm] $=\integral_{4}^{a}(\blue{\frac{4}{x-2}}) [/mm] dx $
Kannst du den Term nun integrieren (=aufleiten)?
> 2. Berechnen sie den lim a->unendlich von A(a)!
Bei Aufgabe 1 erhälst du ein Ergebnis, das keine 'genaue' Zahl ist, sondern irgendwie noch ein a enthält. Dieses musst du mit dem limes gegen Unendlich laufen lassen und gucken, ob der Flächeninhalt endlich ist bzw. ob es sich um ein uneigentliches Integral handelt.
> 3. Berechnen sie das Integral von 1 bis 3 von 1/(x-2)
Was kannst du hierbei nicht? Das Integrieren?
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> Ich hoffe die Fragen sind verständlich gestellt.
> Es wär echt extrem nett von euch, wenn ihr mir da helfen
> könntet.
> Wir haben echt alles probiert. Vom Prinzip wüsste ich ja,
> wie die 1. Aufgabe gehen würde, aber ich weiß nicht, wie
> die Stammfunktion von f(x) ist.
>
> BITTE HELFT MIR!!!
Sobald du deine Ansätze präsentierst, ist auch 'genauere' Hilfe möglich.
> lg
LG
Disap
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Ich hab bei dem Integrieren bei der Aufgabe 3 das Problem, dass ich doch nicht über eine Definitionslücke (die ja bei 2 liegt) integrieren darf, oder??
Aber ansonsten schon mal vielen viel dank, das hat mir schon mal sehr geholfen!!!
Und danke für die nette begrüßung!
Wenn ich fertig mit der Aufgabe bin, stell ich sie mal rein, wär nett, wenn ihr sie dann mal überprüfen könntet,
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Do 25.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo ZallingerQuirin!
> Ich hab bei dem Integrieren bei der Aufgabe 3 das Problem,
> dass ich doch nicht über eine Definitionslücke (die ja bei
> 2 liegt) integrieren darf, oder??
Das ist schon einmal sehr gut, dass Du diesen Punkt erkannt hast. Nun gibt es aber einen Unterschied, ob Du hier die Fläche oder das Integral über das genannte Intervall berechnen sollst.
Bei der Flächenberechnung musst Du in zwei Teilintegrale unterteilen sowie zwei uneigentliche Integrale berechnen:
$A \ = \ [mm] A_1+A_2 [/mm] \ = \ [mm] \left|\integral_{1}^{2}{\bruch{1}{x-2} \ dx}\right| [/mm] + [mm] \left|\integral_{2}^{3}{\bruch{1}{x-2} \ dx}\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\limes_{a\rightarrow 2\uparrow}\integral_{1}^{a}{\bruch{1}{x-2} \ dx}\right| [/mm] + [mm] \left|\limes_{b\rightarrow 2\downarrow}\integral_{b}^{3}{\bruch{1}{x-2} \ dx}\right| [/mm] \ = \ ...$
Dabei erhältst Du dann zwei unendlich große Flächen: $A \ = \ [mm] \infty$ [/mm] .
Bei der reinen Integralermittlung kannst Du hier die Punktsymmetrie zum Punkt $P \ ( \ 2 \ | \ 0 \ )$ ausnutzen (siehe auch Skizze) und erhältst letztendlich als Ergebnis $I \ = \ 0$ .
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dabei darfst Du dann auch wirklich kompromisslos über die Polstelle hinweg integrieren:
$I \ = \ [mm] \integral_1^3{\bruch{1}{x-2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \ln|x-2| \ \right]_1^3 [/mm] \ = \ [mm] \ln|3-2|-\ln|1-2| [/mm] \ = \ [mm] \ln|1|-\ln|-1| [/mm] \ = \ [mm] \ln(1)-\ln(1) [/mm] \ = \ 0$
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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"Kannst du den Term nun integrieren (=aufleiten)? "
Ne, kann ich leider nicht, da liegt jetzt das Problem. Also ich weiß nicht, wie ich da dann die stammfunktion draus mach. Ich hab das ganze jetzt bei ner Internetseite automatisch berechnen lassen und die hat
4ln(x-2) + c
ausgespuckt. Ich hab aber keine ahnung, wie ich da drauf kommen soll.
Wenn ich das ganze jetzt integrier hab ich rausbekommen:
4ln(a-2) - 4ln2
Stimmt das soweit, kann man da noch weitermachen, oder is es falsch??
Aber auf jedenfall schon mal vielen dank, ihr seit echt super
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Do 25.05.2006 | | Autor: | Disap |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Servus.
> "Kannst du den Term nun integrieren (=aufleiten)? "
Es ging ja um folgendes: $ \int(\frac{4}{x-2}) dx $
Wie hast du das Integrieren denn gelernt? Sagt dir Integration durch Substitution etwas? Damit würde es auch gehen.
> Ne, kann ich leider nicht, da liegt jetzt das Problem. Also
> ich weiß nicht, wie ich da dann die stammfunktion draus
> mach. Ich hab das ganze jetzt bei ner Internetseite
> automatisch berechnen lassen und die hat
> 4ln(x-2) + c
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> ausgespuckt. Ich hab aber keine ahnung, wie ich da drauf
> kommen soll.
$ \int(\frac{\red{4}}{x-2}) dx $
Die rote vier ist eigentlich nur ein Vorfaktor und wir können sie vor das Integral ziehen
$ \red{4}\int(\frac{1}{x-2}) dx $
Nun kann z. B. die Formel gelten: $\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = ln[f(x)]$
Es ergibt sich danach die Lösung $\red{4}*ln[f(x)]=\red{4}*ln|x-2] +c$
oder aber es gibt auch die Formel
$\int x^n dx = \frac{1}{n}*x^{n+1)$ (Das gilt für alle $n\not=-1$
Zurück zum Ausgangsterm:
$ \red{4}\int(\frac{1}{(x-2)^1}) dx $
Wenn man etwas aus dem Nenner (unter dem Bruchstrich) in den Zähler holt, so müssen wir das Vorzeichen im Exponenten tauschen. Es gilt also:
$ \red{4}\int(\frac{1}{(x-2)^1}) dx = \red{4}\int(x-2)^{\red{-}1} dx $
Auf die Klammer können wir nun leider nicht die Formel von oben anwenden, da wir -1 im Exponenten haben. Aber ein kleiner Blick in die Formelsammlung verrät dir, dass die Stammfunktion von x^{-1} \Rightarrow ln|x| ist
Daraus folgt dann $\red{4}*ln|x-2|$
> Wenn ich das ganze jetzt integrier hab ich rausbekommen:
>
> 4ln(a-2) - 4ln2
> Stimmt das soweit, kann man da noch weitermachen, oder is
> es falsch??
Jau, das stimmt so weit, kannst also beruhigt weitermachen.
> Aber auf jedenfall schon mal vielen dank, ihr seit echt
> super
>
Schöne Grüße,
Disap
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Also ich bin mit den Aufgaben soweit fertig, wäre nett, wenn ihr das mal überprüfen könntet:
f(x) = [mm] x^3/(x^2-2x)
[/mm]
Definitionsbereich:
D= [mm] \IR \{0,2}
[/mm]
0 ist behebbare Definitionslücke, da man das x wegkürzen kann
Nullstellen:
Bei 0, aber da 0 nicht definiert ist, gibt es keine Nullstelle
Asymptote:
senkrechte Asymptote wegen der Polstelle bei x=2
schräge Asymptote: x+2
Extrema:
bei x=0 aber an dieser Stelle nicht definiert
bei T(4/8) ein Tiefpunkt
Wendepunkt:
bei x=2, aber an dieser nicht definiert => kein Wendepunkt
1. Frage: Ergebnis: 4ln(a-2) - 4ln2 <=Fläche in Abhängigkeit von a
2. Der lim geht gegen + [mm] \infty [/mm] => uneigentliches Integral
3. Hier hat mein Lehrer heute gemeint, dass dieses Integral nicht definiert ist, da man nicht über die Polstelle integrieren darf! Kann man das ganze Mathematisch begründen, durch eine Rechnung??
Danke nochmal für eure hilfe!!
lg
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> Also ich bin mit den Aufgaben soweit fertig, wäre nett,
> wenn ihr das mal überprüfen könntet:
>
> f(x) = [mm]x^3/(x^2-2x)[/mm]
>
> Definitionsbereich:
> D= [mm]\IR \{0,2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (bis auf Formeleditor) [mm]\IR \backslash \{0,2\}[/mm] ergäbe [mm]\IR \backslash \{0,2\}[/mm].
>
> 0 ist behebbare Definitionslücke, da man das x wegkürzen
> kann
(beeindruckender wäre "..., da der Grenzwert bei x=0 existiert  )
>
> Nullstellen:
> Bei 0, aber da 0 nicht definiert ist, gibt es keine
> Nullstelle
>
> Asymptote:
> senkrechte Asymptote wegen der Polstelle bei x=2
> schräge Asymptote: x+2
>
> Extrema:
> bei x=0 aber an dieser Stelle nicht definiert
> bei T(4/8) ein Tiefpunkt
>
> Wendepunkt:
> bei x=2, aber an dieser nicht definiert => kein
> Wendepunkt
> 1. Frage: Ergebnis: 4ln(a-2) - 4ln2 <=Fläche in
> Abhängigkeit von a
>
> 2. Der lim geht gegen + [mm]\infty[/mm] => uneigentliches
> Integral
>
> 3. Hier hat mein Lehrer heute gemeint, dass dieses Integral
> nicht definiert ist, da man nicht über die Polstelle
> integrieren darf!
eingeschränkt ![[abgelehnt]](/images/smileys/abgelehnt.gif "[abgelehnt]") : siehe ![[]](/images/popup.gif) Cauchyscher Hauptwert in Wikipedia. Es wird aber beliebig nahe an den Pol heran integriert.
> Kann man das ganze Mathematisch
> begründen, durch eine Rechnung??
wie wäre es mit [mm] $\infty \not\in \IR$ [/mm] ?
>
> Danke nochmal für eure hilfe!!
> lg
Gern geschehen,
Peter
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Also muss ich 2 mal integrieren, erst von 1-2, dann von 2-3.
Dafür bekomme ich beidemale einen unendlich großen Wert. Unendlich gehört aber nicht zu [mm] \IR [/mm] . Deshalb ist das Ergebnis nicht definiert?!
Anonsten freuts mich, dass das andere gestimmt hat.
Danke
lg
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> Also muss ich 2 mal integrieren, erst von 1-2, dann von
> 2-3.
> Dafür bekomme ich beidemale einen unendlich großen Wert.
> Unendlich gehört aber nicht zu [mm]\IR[/mm] . Deshalb ist das
> Ergebnis nicht definiert?!
>
Hast du dir Loddars Antwort genau angesehen?! Dort hat er's dir doch schon aufgeschrieben...
> Anonsten freuts mich, dass das andere gestimmt hat.
Gruß informix
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