Fläche zwischen zwei Graphen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne jeweils den Inhalt der von den Graphen der gegebenen Funktionen eingeschlossenen Fläche:
a) f(x)= [mm] x^2 [/mm] + 1
g(x)= 5
b) [mm] f(x)=\wurzel[3]{13x-12}
[/mm]
g(x)=x
x=1 ist Schnittstelle |
Guten Tag,
Hab Integralrechnung erst seit Freitag und bin deshalb noch recht unerfahren mit Stammfunktion, integrieren/aufleiten, Substitutionsregel etc.
Ich hab hier zwei Aufgaben wobei ich bei der zweiten sehr unsicher bin, wie ich vorgehen soll, wobei es ja auch fast das selbe ist wie die erste aufgabe.
a) Schnittsellen berechnen:
[mm] x^2+1=5 [/mm] |-1 | [mm] \wurzel
[/mm]
x=2 [mm] \vee [/mm] x=-2
Differenzieren:
d(x)= [mm] x^2 [/mm] -4
Stammfunktion:
F(x)= [mm] \bruch{1}{3} x^3 [/mm] -4x
F(2)= - [mm] \bruch{16}{3}
[/mm]
F(-2)= [mm] \bruch{16}{3}
[/mm]
A= [mm] -\bruch{16}{3} [/mm] - [mm] (+\bruch{16}{3}) [/mm] = - [mm] \bruch{32}{3}
[/mm]
b)
Ich weiß jetzt nicht wie ich mit der Wurzel umgehen soll und bitte um einige Hinweise zur Berechnung der Fläche von b)
Gruß
expositiv
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Hallo expositiv!
Die Wurzel kannst du mi Substitution knacken:
13x-12=z
z'=13
[mm] dx=\bruch{dz}{13}
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{1}{13}\integral{\wurzel[3]{z}dz}
[/mm]
Nun brauchst du nur noch Stammf. bilden und resubst....
Gruß
Angelika
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Die Stammfunktion wäre dann:
F(x)= [mm] \bruch{3}{4}\wurzel[3]{z^4} [/mm]
Muss ich jetzt die Schnittstelle einsetzen x=1 x= [mm] \bruch{1}{13} [/mm] und abziehen?
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Hallo!
> Die Stammfunktion wäre dann:
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> F(x)= [mm]\bruch{3}{4}\wurzel[3]{z^4}[/mm]
Da fehlt aber einiges!
> Muss ich jetzt die Schnittstelle einsetzen x=1 x=
> [mm]\bruch{1}{13}[/mm] und abziehen?
Nein.
Deine Grenzen musst du noch herausbekommen. Bis jetzt weißt du nur, dass 1 eine Grenze ist. Was ist mit der anderen? Der Tipp mit der Grenze 1 wurde nicht umsonst gegeben.
Du kannst die Gleichung zur Schnittstellenbestimmung, also f(x) = g(x), ja folgendermaßen umformen:
[mm]f(x) = \sqrt[3]{13x-12} = x = g(x)[/mm]
[mm]\gdw 13x-12 = x^{3}[/mm]
[mm]\gdw 0 = x^{3}-13x+12[/mm]
Du weißt nun bereits, dass eine Nullstelle dieser Gleichung x = 1 ist. Führe Polynomdivision durch, um die zweite (dritte?) Nullstelle zu erhalten.
Diese bildet dann zusammen mit der ersten deine Integrationsgrenzen.
Dann musst du
[mm] \integral_{1}^{Obere_Grenze?}{f(x)-g(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{Obere_Grenze?}{\sqrt[3]{13x-12} - x dx}
[/mm]
berechnen. Die Stammfunktion von f(x) kennst du schon, du hattest oben berechnet:
[mm] \integral{\sqrt[3]{13x-12} dx}
[/mm]
Substitution z = 13x-12. [mm] \Rightarrow [/mm] dx = [mm] \bruch{dz}{z'} [/mm] = [mm] \bruch{dz}{13},
[/mm]
also
[mm] \integral{\sqrt[3]{z} \bruch{dz}{13}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{13}*\integral{z^{\bruch{1}{3}} dz}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{13}*\left(\bruch{3}{4}*z^{\bruch{4}{3}}\right)
[/mm]
= [mm] \bruch{3}{52}*z^{\bruch{4}{3}}.
[/mm]
Du darfst aber das Rücksubstitutieren nicht vergessen!
= [mm] \bruch{3}{52}*(13x-12)^{\bruch{4}{3}} [/mm] = F(x).
Damit kannst du nun, denk ich, das Integral bestimmen!
Stefan.
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Hallo Stefan, :)
Danke dir erstmal für diese tolle Erklärung und ich entschuldige mich für meine Unerfahrenheit jedoch hab ich es ja bereits erwähnt, dass ich das Thema erst seit Freitag (vorgestern) kennengelernt habe. Mein Lehrer hat uns noch nichts über die Substitution erklärt jedoch hat er erwähnt, dass es nach den Sommerferien vorkommen wird, deshalb möcht ich mich dementsprechend damit befassen.
Die Schnittstellen wären dann:
x=-4 , x=1 , x=3
x=-4 ist irrelevant da ich ja nur die eingeschlossene Fläche berechnen soll ;)
Du hast ja schon den ganzen Teil übernommen ich muss ja jetzt lediglich die zwei Schnittstellen einsetzen und die Fläche berechnen:
A=F(3) - F(1) = [mm] \bruch{60}{13}
[/mm]
wär es dann so korrekt?
Wenn ja kann ich ja an den nächsten Aufgaben ALLEINE (:P) weiterarbeiten und diese Aufgabe als Beispiel nehmen, damit ich besser klar komme.
Gruß
expositiv
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Hallo!
> Hallo Stefan, :)
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> Danke dir erstmal für diese tolle Erklärung und ich
> entschuldige mich für meine Unerfahrenheit jedoch hab ich
> es ja bereits erwähnt, dass ich das Thema erst seit Freitag
> (vorgestern) kennengelernt habe. Mein Lehrer hat uns noch
> nichts über die Substitution erklärt jedoch hat er erwähnt,
> dass es nach den Sommerferien vorkommen wird, deshalb möcht
> ich mich dementsprechend damit befassen.
>
> Die Schnittstellen wären dann:
>
> x=-4 , x=1 , x=3
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> x=-4 ist irrelevant da ich ja nur die eingeschlossene
> Fläche berechnen soll ;)
Das x = -4 irrelevant ist, stimmt zwar, aber die Begründung...
x = -4 liegt nicht im Definitionsbereich von f(x), damit begründet man es!
> Du hast ja schon den ganzen Teil übernommen ich muss ja
> jetzt lediglich die zwei Schnittstellen einsetzen und die
> Fläche berechnen:
>
> A=F(3) - F(1) = [mm]\bruch{60}{13}[/mm]
>
> wär es dann so korrekt?
Leider nicht...
Ich habe dir nur berechnet, wie man den WURZELTERM (also f(x)) integriert. Das ist aber nicht das gesamte Integral! Guck noch mal genau hin! Da steht
A = [mm] \integral_{1}^{3}{f(x)-g(x) dx}
[/mm]
schließlich willst du die Fläche zwischen den Graphen f und g bestimmen!
D.h.
A = [mm] \integral_{1}^{3}{f(x)-g(x) dx} [/mm] = [mm] \left[F(x)-G(x)\right]_{1}^{3}
[/mm]
Du kennst bis jetzt nur F(x)!
> Wenn ja kann ich ja an den nächsten Aufgaben ALLEINE (:P)
> weiterarbeiten und diese Aufgabe als Beispiel nehmen, damit
> ich besser klar komme.
Ok 
Allgemein zur Substitution musst du dir gar nicht soviel merken! Wenn du einen Term substituierst im Integral, ist nur wichtig, dass sich dann auch das "dx" verändert!
Wenn du also einen bestimmten Term mit x, nennen wir ihn z(x) substituierst
(z.B. z(x) = 2x+3, was man immer so schreibt: z = 2x+3), dann verändert sich dx folgendermaßen:
dx = [mm] \bruch{dz}{z'(x)}
[/mm]
Mehr muss man nicht wissen!
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 So 06.07.2008 | | Autor: | Marc |
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