Flächen zwischen 2 Graphen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 So 13.05.2012 | | Autor: | DarkJiN |
Ich hab eine Frage. Wie berechne ich eine Fläche zwischen zwei Graphen, wenn sie teilweise unter der X-Achse ist. Ich darf doch normalerweise nicht über Nullstellen hinaus integrieren, oder?
Als Beispiel hier auf Seite 19 des Pdfs:
http://www.klassenarbeiten.de/oberstufe/material/pdf/69.pdf
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Hallo,
wenn bspw. f(a)=f(b)=f(c)=0 ist, also a<b<c (unterschiedliche)Nullstellen sind und f ist zwischen a und c integrierbar, dann rechne einfach die Beträge der Integrale über den einzelnen Intervallen aus, also hier:
A=[mm]\vmat{ \integral_{a}^{b}{f(x) dx}}+\vmat{ \integral_{b}^{c}{f(x) dx}} [/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 So 13.05.2012 | | Autor: | DarkJiN |
sorry das versteh ich nicht so recht.
Normalerweise teil ich das doch auf. Und intergriere imemr zwischen den Nullstellen.
Sprich wenn ich die Fläche zwischen f(a) und f(d) bestimmen soll und dazwischen f(b)=0 und f(c)=0
berechne ich
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}+\integral_{b}^{c}{f(x) dx}+\integral_{c}^{d}{f(x) dx}
[/mm]
oder?
Was passiert aber jetzt wenn ich die Fläche zwischen zwei Graphen berechnen will? Dort zieh ich für gewöhnlich "den unteren" vom "oberen" ab.
Und was passiert wenn nun ein Teil der Funktion sich unbter der x-Achse befindet? Muss ich das ganze dann auch in geeignete Stücke aufteilen, oder ignorier ich das einfach? (wie in dem PDF dokument auf Seite 19)
--------->![[]](/images/popup.gif) PDF-Dokument (siehe Seite 19)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 So 13.05.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
bastel Dir die Fläche aus Teilen zusammen.
In Deinem PDF ist die grüne Fläche:
Die Fläche unter t:
[mm] $A_t [/mm] := [mm] \frac [/mm] 12 t(b)*(b- (-3.2)) - [mm] \frac [/mm] 12 t(a)*(a-(-3.2))$
Minus die Fläche zw. f und der x-Achse im Intervall a und -0.5
$- [mm] \int_a^{-0.5} [/mm] f(x)\ dx$
Plus die Fläche zw. f und der x-Achse im Intervall -0.5 und 1.5
[mm] $-\int_{-0.5}^{1.5} [/mm] f(x)\ dx$
Minus die Fläche unter f zw. 1.5 und b
[mm] $-\int_a^{-0.5} [/mm] f(x)\ dx$
Wie Du siehst kann man die letzten 3 zusammenfassen zu
[mm] $-\int_a^b [/mm] f(x)\ dx$
weil praktischerweise die Flächen, wo f(x)>0 ist subtrahiert werden müssen, und wo es <0 ist, addiert.
Das funktioniert immer, weil die Fläche A an jeder Stelle x die Höhe
$t(x)-f(x)$
hat. Und diese Höhe ist immer positiv, weil zw. a und b $t(x)>f(x)$.
t(x)-f(x) ist selber eine Funktion, nennen wir sie g,
$g(x):= t(x)-f(x)$
Und g ist auf dem Intervall (a,b) positiv (wiederum: $t(x) > f(x)$, zw. a und b), also ist die Fläche unter g einfach das Integral
$A = [mm] \int_a^b [/mm] g(x)\ dx$
Das Integral über g ist gleich der Fläche A, weil wir beim Integrieren die Fläche eh in eine Million vertikale Scheibchen einteilen. Ob diese Scheibchen jetzt zwischen t und f liegen (wie bei A), oder direkt auf der x-Achse sitzen (wie bei g(x)) ist egal.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 So 13.05.2012 | | Autor: | DarkJiN |
ah verstanden. okay danke :)
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