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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Mo 13.02.2006 | | Autor: | Pure |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x)= [mm] x^{3}- 3x^{2}
[/mm]
a) Berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{0}^{5}{f(x) dx}
[/mm]
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Figur, die vom Schaubild der Funktion f, der positiven x-Achse und der Geraden x=5 begrenzt wird.
c) Das Schaubild der Funktion f, die x-Achse und die Gerade x=c und c>3 begrenzen eine Fläche. Bestimmen Sie c so, dass der Flächeninhalt der Teilfigur über der x-Achse genau so groß ist wie der Flächeninhalt der Teilfigur unter der x-Achse. |
Hallo, ich bin mal wieder am Verzweifeln. Leider. Würde mich riesig über Eure Hilfe freuen! Also, das hier ist mein Problem:
zu a) Also ich muss ja die Stammfunktion finden, oder? Und die wäre hier ja f(x)= [mm] \bruch{1}{4}* x^{4}-x^{3} [/mm] Vom Rechner weiß ich, dass da -7812,5 herauskommt, aber jetzt weiß ich nicht, wie ich das alles händisch mache und wie ich diese Integralsbegrenzung 0 bis 5 einsetze.
zu b) Wie rechne ich diese kurvige Fläche aus? Mir fehlt total die Idee.
zu c) Und wie mache ich so etwas, dass ich c so bestimme, dass beide Flächen gleich groß sind? Ich weiß ja noch nicht mal, wie ich die Flächen ausrechne...
Bitte helft mir!
lg Pure
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Hallo Pure! f(x) sollte [mm] x^3-3*x^2 [/mm] sein, oder?
1.) Allgemein gilt ja:
A = F(a)-F(b) [ A:= Fläche ]
Also setzt du jetzt erst die obere Grenze a=5 in deine Stammfunktion F(x) ein und dann die untere b=0 !
-> [mm] (1/4*5^4-5^3) [/mm] - ( [mm] 1/4*0^4-0^3) [/mm] = A
-> Vereinfachen!
2.) a) Du weist, dass der Graph die untere Grenze b= 0 hat, da es heißt: " Das Flächenstück wird von der POSITIVEN x-Achse begrenzt"
b) Du weist, dass die obere Grenze a=5 ist (Gerade x=5)
Also bildest du das Integral [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] mit a = 5 und b = 0!
Komischerweise ist das das selbe Integral wie du in 1.) ausrechnen solltest!
Deswegen glaube ich, dass sie in 2.) nur den Flächeninhalt über der x-Achse haben wollen! Wenn man den Graphen anschaut, ist da nämlich eine NST zwischen 0 und 5! Also musst du die NST der Funktion f(x) ausrechnen! Achtung: Der Graph hat 2 NST! gefragt ist aber die positive (da positive x-Achse) -> also nicht NST2 = 0!
Wenn du die ausrechnest müsste x = 3 rauskommen! Jetzt bildest du das Integral mit F(x) wie bei 1.) mit den Grenzen:
a=5 und b=3!!!
3.) Eigentlich würde man jetzt das uneigentliche Integral bilden, aber selbst dann kann man c) nicht lösen, meiner Meinung nach!
Der Graph ist nämlich von x=3 bis x-> [mm] \infty [/mm] immer unterhalb der x-Achse und A geht gegen unendlich!
Von 3 bis c ist A oberhalb! c soll aber eine best. Zahl sein!
Aber der unendliche Fl.inh. steht im Widerspruch zum begrnzten Fl.inh. mit b=c!
A unterhalb ausgerechnet wäre:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] mit a=3 und b= [mm] -\infty [/mm] !
(Falls du nicht mehr weißt, wie man das macht: b erst mal so stehen lassen und als Variabke bei F(x) einsetzten! Zum schluss Funktionsterm für [mm] b->\infty [/mm] gehen lassen -> Grenzwert müsste gegen unendlich gehen)
dann müsste aber c letzendlich auch gegen unendlich gehen! Das hat keinen sinn!
Bist du sicher, das in c) nicht nur die positive x-Achse gefragt ist???
dann wäre das kein problem!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Mo 13.02.2006 | | Autor: | Pure |
Hallo, erst mal danke dafür, dass du dir hier diese riesen Mühe gemacht hast! 
Also für a), das Integral von 0 bis 5 hab ich jetzt 31,25 herausbekommen.
zu b) Da hab ich jetzt A= [mm] \integral_{0}^{3}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{3}^{5}{f(x) dx} [/mm] Das ergibt dann ausgerechnet bei mir 44,75. Ich glaube, das hab ich jetzt mal verstanden, danke.
Und c)... also ich denke, dass es da nicht nur um die positive x-Achse geht, hab allerdings auch keine Ahnung, wie man das machen kann.... Ich versuchs mal weiter... Deine Gedanken hab ich aber net verstanden bei der c... Wenn du Zeit hast, kannst du mir das nochmal bitte erklären? Vor allem: Was hat das alles mit c zu tun? Das kann ich nicht einordnen.
Aber danke nochmal!
lg Pure
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Mo 13.02.2006 | | Autor: | Pure |
Hallo Loddar!
Jetzt hab ich auch die c) verstanden, dankeschön. Deine Erklärung hört sich viel einfacher an, als der TExt im Buch.... Du hast mich gerettet
Super, danke, ich werds gleich rechnen.
lg Pure
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Di 14.02.2006 | | Autor: | Pure |
Hallo, also wir haben das heute nicht besprochen, leider, weil ich so gerne wissen wollte, ob ich denn jetzt gestern auf dem richtigen Weg war, bei der c).
Könnt ihr mir das vielleicht bitte sagen? Wäre total nett!
Also ich habe [mm] \integral_{3}^{c}{x^{3}-3*x^{2} dx}. [/mm] Dann hab ich da erst mal ganz normal c eingesetzt, also
Integral= [mm] \bruch{1}{4}*c^{4}- c^{3} [/mm] - [mm] (\bruch{1}{4}*3^{3}-3^{3})
[/mm]
und das jetzt mit dem Wert des Integrals von 0 bis 3 ( [mm] \integral_{0}^{3}{f(x) dx} [/mm] ) gleichsetzen und c ausrechnen. Da kommt dann bei mir c=0 und c=4 heraus. Bin ich so richtig auf dem Weg?
Freu mich schon auf Eure Antworten!
lg Pure
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Di 14.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pure!
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]") Alles richtig gemacht!
Bis auf diesen kleinen Tippfehler hier:
> Integral= [mm]\bruch{1}{4}*c^{4}- c^{3}[/mm] - [mm](\bruch{1}{4}*3^{3}-3^{3})[/mm]
Hier muss es natürlich $... \ - \ [mm] \left(\bruch{1}{4}*3^{\red{4}} \ - \ 3^3 \right)$ [/mm] heißen!
Und wenn Du Dir die Aufgabenstellung genau durchliest ...
... kann dann $c \ = \ 0$ eine gesuchte Lösung sein?
Gruß
Loddar
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
