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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 So 14.05.2006 | | Autor: | splin |
| Aufgabe | | Vom Punkt P(0;-1) sind die Tangenten an den Graphen der Funktion f mit [mm] f(x)=x^2 [/mm] gezeichnet. Berechne den Inhalt der Fläche, die die Tangenten und der Graph einschließen. [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo!
Ich muss zuerst die Schnittstellen von diesen Graphen bestimmen um das Interval für das Integral festlegen können.
Frage: Wenn ich [mm] f(x)=x^2 [/mm] ableite, erhalte ich f(x)=2x. Ist das auch meine zweite Funktion? Aber ich kann die Fläche nicht vollständig bestimmen. Mir fählt noch die Fläche auf der Seite der neg. X-Achse.
Wie finde ich richtig die Funktionen zwischen denen ich diese Fläche bestimmen kann?
MfG Splin.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 So 14.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da das Problem symetrisch zu x=0 ist, musst du nur von 0 bis zum Beruührpunkt p(x)-t(x) integrieren. dann hast du auch das "unter der x-Achse.
Also musst du t(x) suchen. Du suchst eine Gerade t(x), die durch 0,1 geht und Tangente ist. oder Eine Tangente, in x1,f(x1), die durch 0,1 geht. Also allgemeine Tangentengl. x1 bestimmen mit t(0)=-1 oder g(x)=mx-1
m bestimmen so dass m=f'(x1) g(x1)=f(x1).
Eins von beiden schaffst du sicher.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 So 14.05.2006 | | Autor: | splin |
Aus der Ziechnung und berechneten Abletung erkenne ich, dass die Tangentengleichung lautet t(x)=2x-1. Aber wie ich es rechnerisch bestimme da komme ich nicht drauf.
Mein Versuch:
t(0)= -1 wegen P(0;-1)
f'(x)= 2x
Wenn ich diese Ergebnisse gleichsetze: erhalte ich: 2x+1und nicht 2x-1 welche ich aus der zeichnung ablesen kann.
Und mit g(x)=mx-1 komme ich auch nicht klar.
Wenn ich es ausrechne dann habe ich m=1 was auch nicht stimmt.
Also wie komme ich auf eine richtige weise zu der Gleichung 2x-1?
MfG Splin.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 So 14.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo splin!
Die gesuchte Tangente die Form: $y \ = \ m*x-1$ (y-Achsenabschnitt ist durch den Punkt $P \ (0;-1)$ vorgegeben).
Sei $b_$ der x-Wert des gesuchten Berührpunktes.
An der Berührstelle $b_$ muss ja nun dieselbe Steigung bei Gerade (= Tangente) und Kurve vorliegen: $m \ = \ f'(b) \ = \ 2*b$ .
Ebenso muss im Berührpunkt derselbe Funktionswert vorliegen:
[mm] $y_b [/mm] \ = \ m*b-1 \ = \ [mm] b^2 [/mm] \ = \ f(b)$
Setzen wir nun den Wert für $m_$ ein, erhalten wir eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten:
$2b*b-1 \ = \ [mm] b^2$
[/mm]
Kannst Du nun die Berührstelle(n) [mm] $b_{1/2}$ [/mm] und daraus die Tangentengleichung(en) bestimmen?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 So 14.05.2006 | | Autor: | splin |
Hallo!
Ich habe die Nullstellen von $ [mm] 2b\cdot{}b-1 [/mm] \ = \ [mm] b^2 [/mm] $ bestimmt: b=1 oder b=-1 ; aber wie komme ich auf die f(b)=2b-1 es ist mir immer noch unklar.
MfG Splin.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 So 14.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo splin!
Zu den Werten [mm] $b_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] \ 1$ gehört der Funktionswert $f(b) \ = \ [mm] (\pm [/mm] \ [mm] 1)^2 [/mm] \ = \ [mm] \red{+1}$ [/mm] .
Und das setzen wir nun ein in die Geradengleichung:
Tangente für $b \ = \ [mm] \blue{+1}$ [/mm] : [mm] $m*(\blue{+1}) [/mm] -1 \ = \ [mm] \red{+1}$
[/mm]
Umstellen nach $m_$ liefert dann $m \ = \ 2$ und damit auch:
$y \ = \ 2*x-1$
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 So 14.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo splin!
Leduart hat Dir ja bereits den rechnerischen Weg in Ansätzen gezeigt. Wenn Dir diese obige Skizze vorgegeben ist, kann man die Geradengleichung auch daraus ermitteln, da die jewieligen Berührpunkte mit [mm] $B_1 [/mm] \ ( \ -1 \ | \ 1 \ )$ bzw. [mm] $B_2 [/mm] \ ( \ 1 \ | \ 1 \ )$ abgelesen werden können.
Damit kennst Du nun jeweils 2 Punkte der Geraden und kannst die Geradengleichung mittels Zwei-Punkte-Form [mm] $\bruch{y-y_1}{x-x_1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ [/mm] bestimmen.
Aber "schöner" ist selbstverständlich eine rechnerische Lösung ...
Gruß
Loddar
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