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| Aufgabe | | ft(x)= [mm] \bruch{2x}{t²+x²} [/mm] |
Hab folgende aufgabe zu lösen.
eine funktion ft sei gegeben durch ft(x)= [mm] \bruch{2x}{t²+x²},
[/mm]
Zwei Kurven Kt1 und Kt2 mit t1<t2 und die Gerade g:x=z, (z>0) begrenzen eine Fläche im 1. Feld. berechne ihren Inhalt A(z).
Gegen welchen Grenzwert A* strebt A(z) für z--> + Unendlich? Wie groß ist A* bei den gekennzeichneten Kurven?
Für zwei Kurven Kt1 und Kt2 sei A*=1. Welche Beziehung besteht dann zwischen t1 und t2?
Ich weiß nicht wie ich vorgehen soll.
Kurven Kt1 und Kt2 bestimmen, also zur darstellung 2 funktionen ins koordinatensystem gezeichnet, für einen festen wert t wobei t1<t2.
Wie aber soll nun die gerade da rein.
Danach muss man glaub ich mitm Integral die fläche ausrechnen.
Dazu Ft(x) bestimmen: Ft(x)= ft(x)= [mm] \bruch{x²}{t²+1/3x³}. [/mm] Ist das richtig?
Weiter weiß ich leder nicht :-(
Wäre dankbar für n paar tips...
Daniel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 10.09.2006 | | Autor: | kevorkian |
Ft(x)= [mm] \bruch{x²}{t²x+1/3x³}
[/mm]
sry tippfehler...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:08 So 10.09.2006 | | Autor: | VNV_Tommy |
ne, leider auch nicht richtig
Gruß Tommy
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Hallo Daniel!
> ft(x)= [mm]\bruch{2x}{t²+x²}[/mm]
> Hab folgende aufgabe zu lösen.
> eine funktion ft sei gegeben durch ft(x)=
> [mm]\bruch{2x}{t²+x²},[/mm]
>
> Zwei Kurven Kt1 und Kt2 mit t1<t2 und die Gerade g:x=z,
> (z>0) begrenzen eine Fläche im 1. Feld. berechne ihren
> Inhalt A(z).
> Gegen welchen Grenzwert A* strebt A(z) für z--> +
> Unendlich? Wie groß ist A* bei den gekennzeichneten Kurven?
> Für zwei Kurven Kt1 und Kt2 sei A*=1. Welche Beziehung
> besteht dann zwischen t1 und t2?
>
> Ich weiß nicht wie ich vorgehen soll.
> Kurven Kt1 und Kt2 bestimmen, also zur darstellung 2
> funktionen ins koordinatensystem gezeichnet, für einen
> festen wert t wobei t1<t2.
> Wie aber soll nun die gerade da rein.
Die gerade ist eine Senkrechte zur x-Achse an der Stelle z. Mit dieser Angabe wird dir die obere Integrationsgrenze angegeben.
Die untere Grenze des Integrals ist wahrscheinlich x=0, da deine beiden Kurven [mm] K_{t1} [/mm] und [mm] K_{t2} [/mm] im 1.Feld (ich nehme an es ist der erste Quadrant eines kartesischen Koordinatensystems gemeint) mit der Geraden g die Fläche begrenzen sollen. Die untere Integrationsgrenzen könnte aber auch eine andere sein.(siehe Tipp am Ende des Postings)
Es gilt also folgendes Integral zu lösen:
[mm] \integral_{0}^{z}{\bruch{2x}{t^{2}x+x^{2}} dx}=A(z)
[/mm]
> Danach muss man glaub ich mitm Integral die fläche
> ausrechnen.
> Dazu Ft(x) bestimmen: Ft(x)= ft(x)=
> [mm]\bruch{x²}{t²+1/3x³}.[/mm] Ist das richtig?
Ne, leider nicht richtig, da es sich hier um einen Quotienten handelt. Leider gibt es nicht eine schöne Quotientenregel der Integration wie es sie bei der Differentiation gibt.
Auf den ertsen Blick fällt mir hier die Substitution ein.
Substituiere also den gesamten Nenner des Quotienten mit [mm] s=t^{2}x+x^{2}. [/mm]
Bilde dann den Differenzenquotienten (heisst: leite deine Funktion s nach x ab) [mm] \bruch{ds}{dx}=2x [/mm] .
Stelle nun nach dx um und du erhälst [mm] dx=\bruch{ds}{2x} [/mm] .
Das ganze und deinen Substitutionsterm [mm] s=t^{2}x+x^{2} [/mm] setzt du nun in dein Integral ein:
[mm] \integral_{0}^{z}{\bruch{2x}{s}*\bruch{ds}{2x}} [/mm] --> Die Grenzen hab ich nicht verändert, da wir eh nachdem wir die Stammfunktion ermittelt haben wieder resubstituieren werden.
Wie du siehst können wir nun 2x im Zähler und Nenner kürzen und erhalten somit das einfachere Integral:
[mm] \integral_{0}^{z}{\bruch{1}{s} ds}
[/mm]
Wenden wir das Potnezgesetz [mm] \bruch{1}{x}=x^{-1} [/mm] auf unser Integral an so können wir es umformen zu:
[mm] \integral_{0}^{z}{s^{-1} ds}
[/mm]
Nun die Stammfuntion ermitteln:
[mm] \integral_{0}^{z}{s^{-1} ds}=[ln(s)]_{0}^{z} [/mm]
(die Integrationskonstant kann man sich sparen, da es sich um ein bestimmtes Integral - Integrationsgrenzen sind bekannt - handelt)
Nun resubstituieren (wir tauschen s wieder zu [mm] t^{2}x+x^{2} [/mm] aus) wir wieder und erhalten:
[mm] \blue{A(x)=[ln(t^{2}x+x^{2})]_0^{z}}
[/mm]
An dieser Stelle 'darfst' du nun weiter machen mit deiner Aufgabe. 
Noch ein Tipp:
Beachte, daß der ln(0) nicht definiert ist. Möglicherweise schneiden sich alle Funktionen [mm] f_{t} [/mm] im ersten Quadranten im selben Punkt. Diesen müsstest du dann vorher noch ermitteln um die untere Integrationsgrenze zu korrigieren.
> Weiter weiß ich leder nicht :-(
>
> Wäre dankbar für n paar tips...
>
> Daniel
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Viel Erfolg.
Gruß,
Tommy
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 Di 12.09.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Daniel,
> ft(x)= [mm]\bruch{2x}{t²+x²}[/mm]
> Hab folgende aufgabe zu lösen.
> eine funktion ft sei gegeben durch ft(x)=
> [mm]\bruch{2x}{t²+x²},[/mm]
>
> Zwei Kurven Kt1 und Kt2 mit t1<t2 und die Gerade g:x=z,
> (z>0) begrenzen eine Fläche im 1. Feld. berechne ihren
> Inhalt A(z).
> Gegen welchen Grenzwert A* strebt A(z) für z--> +
> Unendlich? Wie groß ist A* bei den gekennzeichneten Kurven?
> Für zwei Kurven Kt1 und Kt2 sei A*=1. Welche Beziehung
> besteht dann zwischen t1 und t2?
>
> Ich weiß nicht wie ich vorgehen soll.
> Kurven Kt1 und Kt2 bestimmen, also zur darstellung 2
> funktionen ins koordinatensystem gezeichnet, für einen
> festen wert t wobei t1<t2.
> Wie aber soll nun die gerade da rein.
> Danach muss man glaub ich mitm Integral die fläche
> ausrechnen.
> Dazu Ft(x) bestimmen: Ft(x)= ft(x)=
> [mm]\bruch{x²}{t²+1/3x³}.[/mm] Ist das richtig?
> Weiter weiß ich leder nicht :-(
>
Zunächst mal hat dir Tommy ja schon gesagt, dass deine Stammfunktion falsch ist. Eine Stammfunktion zu
[mm] f_t [/mm] ist $ F(x) = [mm] ln(t^2 [/mm] + [mm] x^2) [/mm] $
Jetzt zu der gesuchten Fläche: Die Kurven [mm] K_t_1 [/mm] und [mm] K_t_2 [/mm] schneiden sich nur im Ursprung. Deshalb brauchst du noch die Gerade x=z (Parallele zur y-Achse) für die obere Grenze.
$ A = [mm] \integral_{0}^{z}{\bruch{2x}{t_1^2 + x^2} - \bruch{2x}{t_2^2 + x^2}dx} [/mm] $ = $ [mm] \left[\ln(t_1^2 + x^2) - \ln(t_2^2 + x^2) \right]_0^z [/mm] $ $ = [mm] \left[ \ln\bruch{t_1^2 + x^2}{t_2^2 + x^2} \right]_0^z [/mm] = [mm] \ln\bruch{t_1^2 + z^2}{t_2^2 + z^2} [/mm] - [mm] \ln\bruch{t_1^2}{t_2^2} [/mm] $
Von diesem Ausdruch musst du jetzt den Grenzwert für $ z [mm] \to \infty [/mm] $ berechnen.
Gruß
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 12.09.2006 | | Autor: | VNV_Tommy |
Hllo Sigrid
> Zunächst mal hat dir Tommy ja schon gesagt, dass deine
> Stammfunktion falsch ist. Eine Stammfunktion zu
>
> [mm]f_t[/mm] ist [mm]F(x) = ln(t^2 + x^2)[/mm]
>
> Jetzt zu der gesuchten Fläche: Die Kurven [mm]K_t_1[/mm] und [mm]K_t_2[/mm]
> schneiden sich nur im Ursprung. Deshalb brauchst du noch
> die Gerade x=z [mm] (\red{Parallele} \red{zur} \red{x-Achse}) [/mm] für die obere
> Grenze.
Ich denke du meinst x=z ist eine Parallel zur y-Achse, oder?
Gruß,
Tommy
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