Flächenberechnung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechne die Fläche, die die Kurve mit der Wendenormalen einschließt:
[mm] f(x)=2x-\bruch{1}{3} x^3
[/mm]
|
Hey!
Also, wir hatten davor noch eine andere solche Aufgabe und da haben wir so einen Wendepunkt gesucht, deswegen habe ich das hier jetzt auch so gemacht, indem ich die 2. Ableitung von F(x) mit 0 gleichgesetze, aber denn ist das ja auch 0, der Wendepunkt.... Wie bei der Aufgabe davor, ist dass dann immer 0?
Also, weil ja [mm] f´´(x)=2+1x^2 [/mm] ist die 2. Ableitung und wenn ich das mit 0 gleichsetze, kommt doch auch 0 raus, oder?
Naja, das verstehe ich schon nicht ganz....
Und denn haben wir irgendwas gemacht mit "Tangente im Wendepunkt" mit t(x)=m*x+b Vielleicht kann mir da nochmal jmd. sagen, wofür m, x und b stehen?
Und darüber sind wir dann zur Wendenormalen und zu den Schnittstellen von der Kurve und der Wendenormale gekommmen, das müsste in dieser ASufgabe doch dann auch so funktioniere, oder?? Aber ich verstehe nicht, wie wir von t(x)=m*x+b zu den Schnittpunkten kommen und so...
LG HilaryAnn
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Di 04.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo HilaryAnn!
> Also, wir hatten davor noch eine andere solche Aufgabe und
> da haben wir so einen Wendepunkt gesucht, deswegen habe ich
> das hier jetzt auch so gemacht, indem ich die 2. Ableitung
> von F(x) mit 0 gleichgesetze, aber denn ist das ja auch 0,
> der Wendepunkt....
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie bei der Aufgabe davor, ist dass dann immer 0?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das ist nicht immer so (das wäre auch zu einfach  ).
> Also, weil ja [mm]f´´(x)=2+1x^2[/mm] ist die 2. Ableitung
Das ist aber die 1. Ableitung $f'(x)_$ !
> und wenn ich das mit 0 gleichsetze, kommt doch auch 0 raus, oder?
Mit der 2. Ableitung $f''(x) \ = \ 2x \ = \ 0$ schon.
> Und denn haben wir irgendwas gemacht mit "Tangente im
> Wendepunkt" mit t(x)=m*x+b Vielleicht kann mir da nochmal
> jmd. sagen, wofür m, x und b stehen?
x ist die übliche Variable
m ist die Steigung der Geraden / Tangente, welche man auch über die 1. Ableitung der Funktion erhalten kann.
b ist der y-Achsenabschnitt; d.h. die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt [mm] $S_y [/mm] \ [mm] \left( \ 0 \ | \ b \ \right)$ [/mm] .
> Und darüber sind wir dann zur Wendenormalen und zu den
> Schnittstellen von der Kurve und der Wendenormale
> gekommmen, das müsste in dieser ASufgabe doch dann auch so
> funktioniere, oder??
Richtig! Wie lautet denn die Gleichung der Wendetangente?
Daraus kann man dann die Normale im Wendepunkt bestimmen.
> Aber ich verstehe nicht, wie wir von
> t(x)=m*x+b zu den Schnittpunkten kommen und so...
Durch Gleichsetzen der Funktionsgleichung mit der Geradengleichung.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Danke!!
So, also die Gleichung der Wendetangente, ja, also das habe ich so wie bei der aufg. davor gemacht und das wäre dann sowas wie m=f´(0)=2 ?
Nur denn weiß ich nicht, bei der aufg. davor hatten wir m=f´(0)=1 und dann haben wir daunter geschrieben t(x)=x, aber ich weiß nicht wie er darauf kommt. Muss man das irgendwie so in t(x)=m*x+b einsetzen??
LG
|
|
|
| |
|
also die Steigun m deiner Tangente ist 2 das ist Richtig.
Da es glücklicher weiße hier der Fall ist, dass dein Wendepunkt der Ursprung ist also (0/0) weißt du auch gleichzeitig das sein y-achsenabschnitt 0 ist also ist b=0. alternativ kannst du auch einfach in die gleichung der Tangente den Wendepunkt einsetzten und du erhältst auch b=0.
Also ist t(x)=2x+0=2x
Die Normalgerade steht senkrecht zu dieser Tangente hat also die Steigung [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
also ist deine Normalgerade [mm] n(x)=-\bruch{1}{2}x
[/mm]
Der y-achsenabschnitt ist bei der ja auch null weil sie genauso durch den Ursprung geht!
jetzt schneide n mit f durch gleichsetzten
also f(x)=n(x)
|
|
|
| |
|
Gut.
Aber ich versthe nicht so, warum n(x) jetzt [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Di 04.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo HilaryAnn!
Die Formel für zwei Geraden mit den jeweiligen Steigungen [mm] $m_1$ [/mm] bzw. [mm] $m_2$ [/mm] , welche senkrecht aufeinander stehen, lautet:
[mm] $$m_1*m_2 [/mm] \ = \ -1$$
Wir kennen die Tangentensteigung mit [mm] $m_1 [/mm] \ = \ 2$ . Damit ergibt sich für unsere Normale:
[mm] $$m_2 [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{m_1} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Di 04.11.2008 | | Autor: | HilaryAnn |
Oh ja, stimmt, davon hat mein Lehrer auch letze Stunde gereedet  !
Danke!
|
|
|
| |
|
Hmmm.... Also, wenn ich jetzt f(x) mit n(x) gleichsetze, kann ich denn nicht x ausklammern, also [mm] x*(2\bruch{1}{2} -\bruch{1}{3}x^2)=0 [/mm] ?
Und dann ist x_s1=0 ?
Aber denn bekomme ich die anderen Schnittpunkte irgendwie nicht, mit pq-Formel ghet nicht, soll ich das durch probieren versuchen?
LG
|
|
|
| |
|
Ja, das mitder Wurzel hatte ich irgendwie versucht, aber das war so seltsam..
weil wenn ich nach [mm] x^2 [/mm] umstelle, ist es dann [mm] \bruch{5}{2}- \bruch{1}{3}=x^2 [/mm] und denn kommt da so eine ellenlange Zahl raus bei der Wurzel, also nach dem Komma so viele Zahlen...? (Da habe ich bestimmt was verkehrt gemacht...)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo HilaryAnn!
Auch ich erhalte eine Wurzel, die nicht aufgeht (d.h. nicht endlich ist). Allerdings lauten meine weiteren Schnittstellen:
[mm] $$x_{2/3} [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{\bruch{15}{2}}$$
[/mm]
Da musst Du also irgendwo falsch umgeformt haben.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Wie stelle ich das denn dann richtig um, wenn meins falsch ist ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Weil, ich komme nicht auf 15/2...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo HilaryAnn!
[mm] $$\bruch{5}{2}-\bruch{1}{3}\cdot{}x^2 [/mm] \ = \ 0 \ \ \ [mm] \left| \ + \ \bruch{1}{3}\cdot{}x^2 $$
$$\bruch{5}{2} \ = \ \bruch{1}{3}\cdot{}x^2 \ \ \ \left| \ * \ 3$$
$$\bruch{15}{2} \ = \ x^2 \ \ \ \left| \ \wurzel{}$$
Gruß
Loddar
[/mm]
|
|
|
| |
|
Danke!
So, ich habe es, da kommt doch 4,6875 raus und mache ich dass dann mal 2, weil das steht auf dem Zettel dann als Ergebnis, also 75/8 oder 9,375.
Bei der ersten Aufgabe war das so, dass die Tangente die Kurve so in zwei gleichgroße Teile teilt, deswegen haben wir das mal 2 genommen, ist das hier auch so? Weil denn stimmt ja, das Ergebnis . Allerdings, weiß ich nicht wie man das zeichnet, also weiß ich nicht ob das wieder so zwei gleich große Teile sind.
LG HilaryAnn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:04 Mi 05.11.2008 | | Autor: | reverend |
Geh endlich schlafen, wenn Du morgen eine Klausur schreibst.
Dein Körper hält auch noch längeres Lernen aus, aber wenn Dein Gehirn morgen davon irgendwas wiederfinden soll, braucht es ein bisschen Zeit zum Umbau, knapp eine Stunde Tiefschlaf mindestens. Und dafür brauchst Du viel mehr Puffer, mindestens fünf oder sechs Stunden.
Manche Hochbegabte brauchen etwas weniger.
Also: vergiss jetzt alles, denk an nichts oder etwas geradezu einlullend Schönes, und schlaf endlich!
Morgen kannst Du dann ja wieder durchmachen, ab übermorgen mach ich glatt mit.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:25 Mi 05.11.2008 | | Autor: | HilaryAnn |
Ja....
Ok, ich bin jetzt auch fertig, vielleicht lese ich im Bett nur noch bisschen was zur Klausur...
Aber ich habe heute auch schon "vor"geschlafen, so 4 Stunden heute Nachmittag da ich müde war...
Aber trotzdem muss ich das jetzt gelernte ja noch verarbeiten...
Also, Du hast recht, Danke und Gute Nacht!!
P.S. Morgen kann ich vielleicht noch durchmachen auch wegen der US-Wahl, aber am Freitag schreibe ich schon wieder eine Klausur und auch noch Mathe *ohoh* ...
Liebe Grüße HilaryAnn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:42 Mi 05.11.2008 | | Autor: | reverend |
Na, gutes Gelingen jedenfalls!
Falls Dir LANDJUT auch ohne google noch etwas sagt, würde ich gern mal etwas zur Stadt fragen, ganz zivil(istisch).
Morgen bin ich allerdings komplett auf Achse und ende in Bremen (wahrscheinlich ohne bezahlbaren Zugang zum Internet), Donnerstag abend bin ich aber wieder "on".
Ciao,
Martin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:35 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo HilaryAnn!
Dein Ergebnis ist richtig. Auch gilt: beide Teilflächen sind gleich groß.
Dies liegt daran, da sowohl die Funktion $f(x)_$ als auch die Wendenormale $n(x)_$  punktsymmetrisch zum Ursprung sind.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Mi 05.11.2008 | | Autor: | HilaryAnn |
Danke!
|
|
|
|
