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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 So 30.11.2008 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\bruch{4}{1+x^{2}}
[/mm]
Gesucht ist die Fläche im Integral von 3 bis -3. |
Ich bin folgendermaßen an die Aufgabe rangegangen.
[mm] \integral_{-3}^{3}{f(x) \bruch{4}{1+x^{2}}dx}
[/mm]
= 4 [mm] \integral_{-3}^{3}{f(x) 1 + x^{-2} dx}
[/mm]
[mm] =4[-x^{-1}+x] [/mm]
= 4[/bruch{-1}{x}+x]
[mm] =[\bruch{-4}{x}+x]
[/mm]
[mm] =-\bruch{4}{3}+3 [/mm] - [mm] (\bruch{4}{3}-3)
[/mm]
[mm] =-\bruch{4}{3}+3 [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}+3
[/mm]
=-2,66 + 6
=-3,3
Laut GTR kommt aber eine Flächen von 9,99 raus.
Wo ist der Fehler?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 So 30.11.2008 | | Autor: | zoj |
Ja, die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist ln(x).
Aber was ist dann die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{x^{2}}?
[/mm]
Das steht nicht in der Formelsammlung.
Kann man das ausrechnen.
Ich vermute, dass die Stammfunktion:
[mm] ln(x^{2}) [/mm] ist.
Ist das richtig?
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Hallo zoj,
> Ja, die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ist ln(x).
>
> Aber was ist dann die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{x^{2}}?[/mm]
>
> Das steht nicht in der Formelsammlung.
> Kann man das ausrechnen.
Ja klar, das ist ja [mm] $\int{x^{-2} \ dx}$ [/mm] und damit nach der Potenzregel [mm] $f(x)=x^n\Rightarrow \int{x^n \ dx}=\frac{1}{n+1}x^{n+1}$ [/mm] für alle [mm] $n\neq [/mm] -1$ also:
[mm] $\int{x^{-1} \ dx}=\frac{1}{1+(-2)}x^{-2+1}=-x^{-1}=-\frac{1}{x}$
[/mm]
Probe: [mm] $\left[-\frac{1}{x}\right]'=-\left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{1}{x^2}=x^{-2}$
[/mm]
Passt also
>
> Ich vermute, dass die Stammfunktion:
> [mm]ln(x^{2})[/mm] ist. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Leite mal ab: [mm] $\left[\ln(x^2)\right]'=\left[2\ln(x)\right]'=2\cdot{}\frac{1}{x}=\frac{2}{x}$
[/mm]
Passt also nicht
Das Integral [mm] $\int{\frac{1}{1+x^2} \ dx}$ [/mm] ist weit schwieriger zu lösen, die +1 im Nenner macht dir die Potenzregel von oben kaputt
Hier musst du wohl oder über eine Substitution machen oder in der Formelsammlung nachschlagen
Substituiere hier mal [mm] $x:=\tan(u)$
[/mm]
>
> Ist das richtig?
Leider nicht, eine Stammfunktion von [mm] $\int{\frac{1}{1+x^2} \ dx}$ [/mm] ist [mm] $\arctan(x)$
[/mm]
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 So 30.11.2008 | | Autor: | zoj |
Habe das eben mit der substitutionsregel probiert.
Die Formel dafür lautet:
[mm] \integral_{a}^{b}{f( g(x) ) * g'(x) dx}= \integral_{g(a)}^{g(b)}{f(z) dx}
[/mm]
dem nach ist:
g(x)= [mm] 1+x^{2}
[/mm]
g'(x)=2x
Aber was ist jetzt f(z)?
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Hallo zoj,
ich habe dir doch den Substitutionsansatz schon genannt:
> Habe das eben mit der substitutionsregel probiert.
>
> Die Formel dafür lautet:
>
> [mm] $\integral_{a}^{b}{f( g(x) ) * g'(x) dx}= \integral_{g(a)}^{g(b)}{f(z) d\red{z}}$
[/mm]
>
> dem nach ist:
> g(x)= [mm]1+x^{2}[/mm]
> g'(x)=2x
>
> Aber was ist jetzt f(z)?
Mache das ohne diese verwirrende Formel!
[mm] $\blue{x:=x(z)=\tan(z)}$
[/mm]
Das hatte ich oben vorgeschlagen
Damit ist [mm] $x'(z)=\frac{dx}{dz}=1+\tan^2(z)$ [/mm] (das ist die Ableitung des Tangens - rechne es nach!)
Also [mm] $\green{dx=(1+\tan^2(z)) \ dz}$
[/mm]
Damit ist [mm] $\int{\frac{1}{1+\blue{x^2}} \ \green{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \int{\frac{1}{1+\blue{\tan^2(z)}} \ \green{(1+\tan^2(z)) \ dz}}$
[/mm]
[mm] $=\int{1 \ dz}=z$
[/mm]
Rücksubst. [mm] $x=\tan(z)\Rightarrow z=\tan^{invers}(x)=\arctan(x)$
[/mm]
Also [mm] $\int{\frac{1}{1+x^2} \ dx}=\arctan(x)$
[/mm]
LG
schachuzipus
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![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
Gruß
