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Flächenberechnung: Fläche zwischen zwei kurven
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:15 Fr 20.05.2005
Autor: tolik

Hallo,
ich habe da ein kleines Problemchen:

Ich habe eine Aufgabe in der ich die Fläche zwischen der Geraden:
h(x) = ((2/e)-2)x+4
und der Kurve:
f(x) = 4*e^(-(x/2))
ausrechnen muss.
Angefangen habe ich mit der Definition: A= [mm] \integral_{0}^{2} [/mm] (h(x)-f(x))dx

so heißt die Gleichung: A= [mm] \integral_{0}^{2} [/mm] (((2/e)-2)x+4-(4*e^(-x/2)))dx

nun habe ich das Problem f(x) aufzuleiten.
Kann mir da jemand weiterhelfen?

schonmal vielen Dank im vorraus!

mfg tolik
---
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Flächenberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:32 Fr 20.05.2005
Autor: Fabian

Hallo tolik

und herzlich [willkommenmr]

Betrachten wir deine beiden Funktionen doch mal einzeln:

[mm] f(x)=(\bruch{2}{e}-2)x+4 [/mm]

Hier verwirrt dich bestimmt der Ausruck vor dem x ! Dieser ist aber eine Konstante! Deswegen:

[mm] \integral {(\bruch{2}{e}-2)x+4*dx}=(\bruch{2}{e}-2)*\bruch{1}{2}x^{2}+4x+C [/mm]

Jetzt zur zweiten Funktion:

[mm] f(x)=4*e^{-\bruch{x}{2}} [/mm]

Hier verwendest du am Besten die Substitution  [mm] u=-\bruch{x}{2} [/mm]

Damit solltest du eigentlich weiterkommen!

Gruß Fabian


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Flächenberechnung: rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:07 Fr 20.05.2005
Autor: tolik

wenn ich das mit der substitution mache, kommt bei mir :
F(x) = -2*e^(-x/2)
raus, stimmt das?

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Bezug
Flächenberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:47 Fr 20.05.2005
Autor: Fabian

Hallo Tolik,

Nicht ganz!

Gehen wir die Subsitution mal durch:

[mm] u=-\bruch{x}{2} [/mm]

[mm] \bruch{du}{dx}=-\bruch{1}{2} [/mm]

dx=-2*du

Wir erhalten dann für das Integral:

[mm] -8*\integral {e^{u}*du} [/mm]

Jetzt  rechne mal weiter und teile uns dann dein Ergebnis mit!

Gruß Fabian



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Bezug
Flächenberechnung: Frage 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:42 Fr 20.05.2005
Autor: tolik

oh man, jetzt kapier ich gar nichts mehr.
mal ganz langsam, wenn ich [mm] e^{-\bruch{x}{2}} [/mm] substituiere auf [mm] e^u [/mm]
dann bekomme ich für die "Aufleitung"(wie auch immer das auch genannt wird) [mm] \bruch{1}{2}u^{2}*e^{u} [/mm]  oder auch [mm] -\bruch{x^{2}}{8}\*e^{-\bruch{x}{2}} [/mm] oder verstehe ich da was falsch?

Bezug
                                        
Bezug
Flächenberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:00 Fr 20.05.2005
Autor: Fabian

Hallo Tolik

machen wir hier mal weiter:

[mm] -8*\integral {e^{u}*du} [/mm]

Du weißt doch besitmmt , dass wenn du [mm] e^{x} [/mm] integriest , du wieder [mm] e^{x} [/mm] erhälst!

Dann folgt:


[mm] -8*\integral {e^{u}*du}=-8*e^{u}+C=-8*e^{-\bruch{x}{2}}+C [/mm]

Hier hab ich einfach das u durch [mm] -\bruch{x}{2} [/mm] ersetzt!

Kommst du jetzt weiter?

Gruß Fabian


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Bezug
Flächenberechnung: weitere Möglichkeit
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:56 Fr 20.05.2005
Autor: NanoSusi

Hallo, Tolik :-)

Du hast ja bereits eine Variante der Lösung.
Aber für jede Aufgabe gibt es immer mehrere Lösungswege, man wählt in der Regel den, der einen am meisten anspricht.

Also, du suchst eine Stammfunktion F(x) zu gegebener [mm]f(x) = 4*e^{-\bruch{x}{2}} [/mm]

Alternativ zu Substitution kannst du die Stammfunktion mithilfe der Hilfsfunktion [mm]g(x) = e^{-\bruch{x}{2}} [/mm]

Abgeleitet ergibt sich [mm]g'(x) = - \bruch {1}{2}*e^{-\bruch{x}{2}} [/mm]

Jetzt sollte man nur den Vorfaktor [mm]a[/mm] finden, bei welchem [mm]f(x) = a*g'(x)[/mm] :


[mm]4*e^{-\bruch{x}{2}} = a * (-\bruch {1}{2})*e^{-\bruch{x}{2}} [/mm]
a = - 8 , somit lautet die Stammfunktion [mm]F(x) = -8*g(x)[/mm]

[mm]F(x) = -8*e^{-\bruch {x}{2}}[/mm]

Das Ergebnis ist dasselbe, der Weg anders.

MfG

NanoSusi

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