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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Do 13.10.2011 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] y=\bruch{1}{10}x^2+1
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Tangente im Punkt [mm] P(5/y_P) [/mm] an diese Funktion.
b) Der Funktionsgraph, die Tangente und die positiven Koordinatenachsen schließen eine endliche Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. |
[mm] f(x)=\bruch{1}{10}x^2+1
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{5}x
[/mm]
[mm] P_T(5/y_P_T)
[/mm]
Tangente:
[mm] y_P_T=\bruch{1}{10}*5^2+1=3,5 [/mm]
[mm] P_T(5/3,5)
[/mm]
y=k*x+d => 3,5=1*5+d /-5
-1,5=d
[mm] k=\bruch{1}{5}*5=1
[/mm]
g(x)=x-1,5
[mm] A=\integral_{0}^{5}{f(x)-g(x) dx}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{10}x^2+1-(x-1,5)=\bruch{1}{10}x^2+1-x+1,5=\bruch{1}{10}x^2-x+2,5
[/mm]
[mm] A=\integral_{0}^{5}{\bruch{1}{10}x^2-x+2,5 dx}=4,17 [/mm] FE
Das Ergebnis müsste eigentlich stimmen, jedoch irritiert mich die Aufgabenstellung insofern, das im Text von "positiven Koordinatenachsen" die Rede ist. Wenn ich die beiden Funktionen plotte, dann wird aber auch ein Flächenteil unter der x-Achse integriert, also im negativen Teil von y. Ist das trotzdem richtig so?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Do 13.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die Funktion [mm]y=\bruch{1}{10}x^2+1[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die Tangente im Punkt [mm]P(5/y_P)[/mm] an diese
> Funktion.
> b) Der Funktionsgraph, die Tangente und die positiven
> Koordinatenachsen schließen eine endliche Fläche ein.
> Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{10}x^2+1[/mm]
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{5}x[/mm]
>
> [mm]P_T(5/y_P_T)[/mm]
>
> Tangente:
>
> [mm]y_P_T=\bruch{1}{10}*5^2+1=3,5[/mm]
>
> [mm]P_T(5/3,5)[/mm]
>
> y=k*x+d => 3,5=1*5+d /-5
> -1,5=d
>
> [mm]k=\bruch{1}{5}*5=1[/mm]
>
> g(x)=x-1,5
O.K.
>
> [mm]A=\integral_{0}^{5}{f(x)-g(x) dx}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{10}x^2+1-(x-1,5)=\bruch{1}{10}x^2+1-x+1,5=\bruch{1}{10}x^2-x+2,5[/mm]
>
> [mm]A=\integral_{0}^{5}{\bruch{1}{10}x^2-x+2,5 dx}=4,17[/mm] FE
>
> Das Ergebnis müsste eigentlich stimmen,
Ja , das Integral hast Du richtig berechnet, aber.....
> jedoch irritiert
> mich die Aufgabenstellung insofern, das im Text von
> "positiven Koordinatenachsen" die Rede ist. Wenn ich die
> beiden Funktionen plotte, dann wird aber auch ein
> Flächenteil unter der x-Achse integriert, also im
> negativen Teil von y. Ist das trotzdem richtig so?
Nein, diese Dreiecksfläche mußt Du von
$ [mm] A=\integral_{0}^{5}{(f(x)-g(x)) dx} [/mm] $
noch abziehen.
FRED
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Do 13.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Alles klar, danke...
Und wie komme ich gleich noch mal auf den Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse?
Beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Do 13.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Alles klar, danke...
>
> Und wie komme ich gleich noch mal auf den Schnittpunkt der
> Tangente mit der y-Achse?
Es war g(x)=x-1,5 . Berechne g(0)
FRED
>
>
> Beste Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Do 13.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Dann hab ich ja die Nullstelle der Tangente, oder hab ich dich falsch verstanden?
Wie aber komm' ich auf den Schnittpunkt mit der y-Achse?
x-1,5=0 /+1,5
1,5 = x
Ich würde dann für die Fläche rechnen:
[mm] A=\bruch{1,5*|P_y_T|}{2}
[/mm]
Dann hätte ich doch die Fläche vom Dreieck. Nur Punkt Schnittpunkt mit der y-Achse fehlt mir noch...
Schöne Grüße
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Hallo drahmas!
Nein, Du sollst den Wert $x \ = \ 0$ in die Tangentengleichung einsetzen, um den y-Achsenabschnitt zu erhalten.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Do 13.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Ja stimmt, logisch, so einfach ists, danke. ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
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