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Flächenberechnung 2: Augabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:18 Fr 16.12.2011
Autor: Quinix

Aufgabe
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Teils der Fläche z = xy der über dem Viertelkreis :
G = { (x,y) : x [mm] \ge [/mm] 0 , y [mm] \ge [/mm] 0 , [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] 1 }

Hallo Liebe Community,
ich stehe wie immer auf dem Schlauch bei einer Flächenberechnung.

Ich habe versucht das zu skizzieren und mein Bild sah dann so auß, dass ich einen Viertelkreis gezeichnet habe und eine Hyberbel.
Als Hinweis ist gegeben, Polarkoordinaten zu verwenden.

Da der Radius auf 1 beschränkt ist, habe ich gedacht, dass das meine obere Grenze ist. Außerdem haben wir einen Viertelkreis also bewegt sich unser Winkel:
0 [mm] \le \mu \le \pi/2 [/mm] oder?
Die linke Grenze wäre doch der Schnittpunkt zwischen der Hyperbel und dem Viertelkreis oder nicht?

1/x = [mm] \wurzel{ 1 - x^2} [/mm] ist es sicherlich nicht oder?

Hoffe ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.

Viele Grüße

        
Bezug
Flächenberechnung 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:26 Fr 16.12.2011
Autor: MathePower

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Quinix,

> Berechnen Sie den Flächeninhalt des Teils der Fläche z =
> xy der über dem Viertelkreis :
>   G = { (x,y) : x [mm]\ge[/mm] 0 , y [mm]\ge[/mm] 0 , [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2 \le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

1 }

>  Hallo Liebe Community,
>  ich stehe wie immer auf dem Schlauch bei einer
> Flächenberechnung.
>  
> Ich habe versucht das zu skizzieren und mein Bild sah dann
> so auß, dass ich einen Viertelkreis gezeichnet habe und
> eine Hyberbel.
>  Als Hinweis ist gegeben, Polarkoordinaten zu verwenden.
>  
> Da der Radius auf 1 beschränkt ist, habe ich gedacht, dass
> das meine obere Grenze ist. Außerdem haben wir einen
> Viertelkreis also bewegt sich unser Winkel:
>  0 [mm]\le \mu \le \pi/2[/mm] oder?
>  Die linke Grenze wäre doch der Schnittpunkt zwischen der
> Hyperbel und dem Viertelkreis oder nicht?
>  
> 1/x = [mm]\wurzel{ 1 - x^2}[/mm] ist es sicherlich nicht oder?
>  
> Hoffe ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.
>  


x und y sind doch durch G schon festgelegt.



> Viele Grüße



Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Flächenberechnung 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:38 Fr 16.12.2011
Autor: Quinix

Aber es kann doch nicht so leicht sein und sagen:

[mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{x*y dx dy}} [/mm]

Oder?

Bezug
                        
Bezug
Flächenberechnung 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:43 Fr 16.12.2011
Autor: MathePower

Hallo Quinix,


> Aber es kann doch nicht so leicht sein und sagen:
>  
> [mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{x*y dx dy}}[/mm]
>  
> Oder?


Das kann auch nicht sein.

Um die Grenzen zu bestimmen benötigst Du ja G.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Flächenberechnung 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:19 Fr 16.12.2011
Autor: Quinix

Ok also Mein Gebiet G ist ja beschränkt durch den Kreis : [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] 1

Kann ich dann einfach sagen, dass meine Grenzen so sind:

0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1

0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le \wurzel{ 1 - x^2} [/mm]

Somit:

[mm] \integral_{0}^{\wurzel{ 1 - x^2}}{\integral_{0}^{1}{xy } dxdy} [/mm]

Gruß

Bezug
                                        
Bezug
Flächenberechnung 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:17 Sa 17.12.2011
Autor: MathePower

Hallo Quinix,

> Ok also Mein Gebiet G ist ja beschränkt durch den Kreis :
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2 \le[/mm] 1
>  
> Kann ich dann einfach sagen, dass meine Grenzen so sind:
>  
> 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1
>  
> 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le \wurzel{ 1 - x^2}[/mm]
>  
> Somit:
>  
> [mm]\integral_{0}^{\wurzel{ 1 - x^2}}{\integral_{0}^{1}{xy } dxdy}[/mm]
>  


Fast korrekt:

[mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{\wurzel{1-x^{2}}}{xy \ dy}\ dx}[/mm]


> Gruß


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Flächenberechnung 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:27 Sa 17.12.2011
Autor: Quinix

Danke für die Hilfe,
aber wieso spielt es in diesem Fall eine Rolle, ob ich zuerst nach y und dann x integriere?

Gruß

Bezug
                                                        
Bezug
Flächenberechnung 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:33 Sa 17.12.2011
Autor: MathePower

Hallo Quinix,

-> Danke für die Hilfe,

>  aber wieso spielt es in diesem Fall eine Rolle, ob ich
> zuerst nach y und dann x integriere?
>  


Weil die Grenzen für y von x abhängen.


> Gruß


Gruss
MathePower

Bezug
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