Flächenberechnung Dreieck R³ < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Sa 02.12.2006 | | Autor: | f1ne |
| Aufgabe | Aufgabe 4.
Berechne die Fläche des Dreiecks im [mm] \IR³ [/mm] mit den Eckpunkten [mm] P=\pmat{ 1 & 1 & 1 } Q=\pmat{ 2 & -8 & 6 } [/mm] und [mm] R=\pmat{ -1 & 0 & 4 } [/mm] |
Ähm, A= [mm] \bruch{g*h}{2} [/mm] ? Das wars dann auch schon, ich hab überhaupt keine Ahnung. Kann mir da wer weiterhelfen ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo f1ne!
> Aufgabe 4.
> Berechne die Fläche des Dreiecks im [mm]\IR³[/mm] mit den
> Eckpunkten [mm]P=\pmat{ 1 & 1 & 1 } Q=\pmat{ 2 & -8 & 6 }[/mm] und
> [mm]R=\pmat{ -1 & 0 & 4 }[/mm]
> Ähm, A= [mm]\bruch{g*h}{2}[/mm] ? Das wars
> dann auch schon, ich hab überhaupt keine Ahnung. Kann mir
> da wer weiterhelfen ?
Die Formel stimmt schon mal. Weißt du denn auch, was g und h sind? g ist die Grundseite. Die kannst du ganz einfach berechnen, indem du die Strecke zwischen zweien deiner Punkte berechnest, kannst dir zwei Punkte aussuchen, und dann einfach subtrahieren. Und dann fehlt noch die Höhe h. Eine Höhe steht immer senkrecht, also musst du eine Senkrechte auf deine Grundseite angeben. Du kannst z. B. eine Geradengleichung für die Höhe aufstellen, indem du den dritten Punkt nimmst (denn durch den soll die Höhe ja gehen), und dann nimmst du einen Vektor, der senkrecht auf der Grundseite steht als Richtungsvektor. Aber wie du auf einen senkrechten Vektor kommst, da fällt mir gerade keine schnelle Lösung ein. Jedenfalls, wenn du solch eine Gleichung hast, musst du noch den Abstand zwischen dem dritten Punkt und der Grundseite berechnen, und damit hast du die Höhe. Und dann nur noch in deine obige Formel einsetzen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:11 Sa 02.12.2006 | | Autor: | ManuP |
Man kann das auch mit den Vektoren Berechnen.
Sei [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] der Vektor von P nach Q
Sei [mm] \overrightarrow{PR} [/mm] der Vektor von P nach R
So ist der Flächeninhalt des Pralellograms
[mm] |\overrightarrow{PQ}|*|\overrightarrow{PR}|
[/mm]
Der des Dreiecks gerade die Hälfte, also
[mm] |\overrightarrow{PQ}|*|\overrightarrow{PR}*\bruch{1}{2}
[/mm]
lg ManuP
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Sa 02.12.2006 | | Autor: | f1ne |
Manup, deine Antwort habe ich mir auch gerade gedacht. Weil 2 Punkte + Vektor ja nen Spat aufspannen und das ein Parallelogramm ist, nur du hast ein * benutzt müsste es aber nicht das Kreuzprodukt sein ? Oder habe ich da in der Vorlesung was falsch verstanden ?
Gibt es eigentlich eine Flächenformel für ein Spat im R³ ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Sa 02.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Es werden die Längen zweier Vektoren multipliziert, also "normale" Zahlen.
Hier brauchst du kein Kreuzprodukt.
Die Schreibweise [mm] \vec{a}*\vec{b}=d [/mm] bezeichnet meistens das Skalarprodukt, bei dem eine Zahl d - mathematisch ein Skalar - herauskommt.
Das Kreuzprodukt, bei dem ein Vektor als Ergebnis herauskommt, schreibt man meistens mit [mm] \times
[/mm]
Also
[mm] \vec{a}\times\vec{b}=\vec{n}.
[/mm]
Hierbei steht [mm] \vec{n} [/mm] senkrecht auf [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}
[/mm]
Aber, da [mm] \vec{n}\perp\vec{a} [/mm] und [mm] \vec{n}\perp\vec{b}
[/mm]
[mm] \vec{n}*\vec{a}=0 [/mm] und [mm] \vec{n}*\vec{b}=0.
[/mm]
Also: Achte darauf, welches Produkt benutzt wird.
Marius
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:24 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Marius,
alles richtig, nur hier müsste wirklich das Kreuzprodukt verwendet werden.
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo f1ne,
> Manup, deine Antwort habe ich mir auch gerade gedacht. Weil
> 2 Punkte + Vektor ja nen Spat aufspannen und das ein
> Parallelogramm ist, nur du hast ein * benutzt müsste es
> aber nicht das Kreuzprodukt sein ? Oder habe ich da in der
> Vorlesung was falsch verstanden ?
Ja, Du hast völlig Recht:
Die Zahl [mm] $|\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{PR}|$ [/mm] ist der Flächeninhalt des von den Vektoren [mm] $\overrightarrow{PQ}$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{PR}$ [/mm] aufgespannten Parallelogramms.
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist dann die Hälfte.
> Gibt es eigentlich eine Flächenformel für ein Spat im R³ ?
Ein Spat ist ja ein Körper - Meinst Du tatsächlich die Formel für die Oberfläche?
Wenn die drei Vektoren [mm] $\vec [/mm] a$, [mm] $\vec [/mm] b$, [mm] $\vec [/mm] c$ aufspannen, dann ist die Oberfläche:
[mm] $O=2*\left( |\vec a\times\vec b|+|\vec a\times\vec c|+|\vec b\times\vec c|\right)$
[/mm]
Das Volumen beträgt:
[mm] $V=\vec a\times\vec b*\vec [/mm] a$ ("Spatprodukt")
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Sa 02.12.2006 | | Autor: | f1ne |
Also ich rechne das jetzt einfach mal vor, sorry ihr habt mich noch mehr verunsichert als vorher... darum bitte mal durchschauen
[mm] \vmat{ \pmat{ 1 \\ -9 \\ 5 } \times \pmat{ -2 \\ -1 \\ 3} } [/mm] = [mm] \wurzel{(-22)²+(-13)²+(-19)²} [/mm] = [mm] \wurzel{1014}*\bruch{1}{2}\approx [/mm] 15.92 [LE]
richtig ?
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Hallo f1ne!
> Also ich rechne das jetzt einfach mal vor, sorry ihr habt
> mich noch mehr verunsichert als vorher... darum bitte mal
> durchschauen
>
> [mm]\vmat{ \pmat{ 1 \\ -9 \\ 5 } \times \pmat{ -2 \\ -1 \\ 3} }[/mm]
> = [mm]\wurzel{(-22)²+(-13)²+(-19)²}[/mm] =
> [mm]\wurzel{1014}*\bruch{1}{2}\approx[/mm] 15.92 [LE]
>
> richtig ?
Bis auf die Schreibweise schon. Die Wurzel aus dem Kreuzprodukt beträgt [mm] \wurzel{1014}. [/mm] Und nicht [mm] wurzel{1014}*\bruch{1}{2}. [/mm] Schon klar, dass du danach durch zwei teilen musst, aber so kannst du das nicht aufschreiben.
Viele Grüße
Bastiane
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Sa 02.12.2006 | | Autor: | f1ne |
19,352 [FE] ? kannst du das vielleich mal kurz bestätigen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Sa 02.12.2006 | | Autor: | ManuP |
Das erhalte ich auch, genauer:
[mm] \wurzel{1498}\approx13.35
[/mm]
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 17:15 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo ManuP
> Man kann das auch mit den Vektoren Berechnen.
>
> Sei [mm]\overrightarrow{PQ}[/mm] der Vektor von P nach Q
> Sei [mm]\overrightarrow{PR}[/mm] der Vektor von P nach R
>
> So ist der Flächeninhalt des Pralellograms
>
> [mm]|\overrightarrow{PQ}|*|\overrightarrow{PR}|[/mm]
Diese Formel gilt nur, falls [mm] $\overrightarrow{PQ}$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{PR}$ [/mm] senkrecht aufeinander stehen (was hier nicht der Fall ist).
> Der des Dreiecks gerade die Hälfte, also
>
> [mm]|\overrightarrow{PQ}|*|\overrightarrow{PR}*\bruch{1}{2}[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 Sa 02.12.2006 | | Autor: | ManuP |
Auweija...
stimmt.
ich habe mich auch gerade gewundert, warum 15.927 herauskommt, wenn ich das mit dem Kreuzprodukt rechne.
SORRY.
Korrekt berechnet man den Flächeninhalt so:
Sei [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] der Vektor von P nach Q
Sei [mm] \overrightarrow{PR} [/mm] der Vektor von P nach R
Dann ist [mm] |\overrightarrow{PQ}x\overrightarrow{PR}| [/mm] der Flächeninhalt des aufgespannten parallelogramms.
Da das Dreieck genau den halben Inhalt hat, gilt als für die Fläche A:
A= [mm] |\overrightarrow{PQ}x\overrightarrow{PR}|*\bruch{1}{2}
[/mm]
lg Manu.
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