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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:50 So 17.12.2006 | | Autor: | Maggons |
| Aufgabe | Zu jedem k > 0 ist eine Funktion [mm] f_{k}(t) [/mm] durch
[mm] f_{k}(t) [/mm] = [mm] 80*e^{k*t}-\bruch{1}{3}*e^{2k*t} [/mm] ; t [mm] \in \IR
[/mm]
c) Die t- Achse und der Graph von [mm] f_{k} [/mm] begrenzen eine bis "ins Unendliche reichende" Fläche.
Berechnen Sie die Gleichung der zur t- Achse senkrechten Geraden G, die diese Fläche in zwei Teilflächen unterteilt, sodass der Inhalt der linken Teilfläche 3 mal so groß ist wie der Inhalt der rechten Teilfläche. |
Huhu also irgendwo habe ich scheinbar im Lösungsansatz einen Fehler oder ich bin zu dumm die Gleichung bis zum Ende aufzulösen.
Die Nullstelle der Funktion befindet sich bei [mm] \bruch{ln(240)}{k}.
[/mm]
Habe erstmal die komplette Fläche ausgerechnet, also
[mm] \integral_{-\infty}^{\bruch{ln(240)}{k}}{f_{k}(t) dt}
[/mm]
, da bekomme ich dann [mm] \bruch{9600}{k} [/mm] heraus, weil [mm] -\infty [/mm] zu 0 wird, habe ich mir jedenfalls so gedacht.
Dann habe ich mir nun überlegt eine beliebige Intervallsgrenze t' zu bilden und die in das Integral einzusetzen:
[mm] \integral_{t'}^{\bruch{ln(240)}{k}}{f_{k}(t) dt} [/mm] =
[mm] \bruch{9600}{k} [/mm] - [mm] (\bruch{80*e^{k*t'}}{k} [/mm] - [mm] \bruch{e^{2k*t'}}{6k})
[/mm]
Hier angekomme wollte ich nun einfach die Gesamtfläche in [mm] \bruch{1}{4} [/mm] und [mm] \bruch{3}{4} [/mm] einteilen, dann wäre die soeben errechnete Fläche also:
[mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] \bruch{9600}{k} [/mm] = [mm] \bruch{2400}{k}
[/mm]
Nun wollte ich das Ergebnis des Integrals gleichsetzen mit diesem Ergebnis, jedoch bekomme ich per Hand keinen Wert für t':
[mm] \bruch{2400}{k} [/mm] = [mm] \bruch{9600}{k} [/mm] - [mm] (\bruch{80*e^{k*t'}}{k} [/mm] - [mm] \bruch{e^{2k*t'}}{6k})
[/mm]
Dann bekomme ich es selbst durch
- Multiplizieren mit k
- Multiplizieren mit 6
- Subtraktion von 57600
in diese Form:
[mm] -480*e^{k*t'} [/mm] - [mm] e^{2k*t'} [/mm] = -43200
Mit dem Taschenrechner bekomme ich ausgehend von der Anfangsgleichung
t'= [mm] \bruch{ln(120*(\wurzel{7}-2))}{k} [/mm] ~ [mm] \bruch{4,35015}{k}
[/mm]
und ausgehend von meiner letzten Gleichung
t'= [mm] \bruch{ln(360*3*\wurzel{2}-4)}{k} [/mm] ~ [mm] \bruch{4.46993}{k}
[/mm]
raus, daher habe ich zwar das Ergebnis (glaube ich...), aber ich will es auch per Hand ausrechnen können :/
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn mir jemand die Differenz der beiden Ergebnisse erklären könnte, da ich alle meine Rechenschritte mit TR überprüft habe und alle meine Schritte meiner Meinung nach korrekt ausgeführt sind.
Zudem würde ich gerne noch wissen, wie ich meinen zuletzt angegeben Schritt umformen kann, so dass ich auf keiner Seite eine Gleichung mit + oder - habe und somit ln benutzen kann.
Logarithmusgesetz 3 scheint mir nahe zu liegen, aber ich weiß es einfach nicht :(
Mit freundlichen Grüßen
Maggons
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 So 17.12.2006 | | Autor: | Maggons |
Ohwei das war natürlich dumm von mir nicht an die Substitution zu denken :(
Vielen vielen Dank Loddar, dass du mir da weiter geholfen hast!
Bin dann nun durch Einsetzen auf:
[mm] (z+240)^{2} [/mm] = 100800
gekommen.
Daraus folgt dann, dass z= [mm] 120*\wurzel{7}-240 [/mm] ist.
Das negative Ergebnis schließe ich einfach aus, weil man negative Werte nich logarithmieren kann.
Dann setze ich z in meine Substitutionsgleichung ein:
[mm] e^{k*t'}=120*\wurzel{7}-240
[/mm]
und forme es durch ln und /k zu
t' = [mm] \bruch{ln(120*(\wurzel{7}-2))}{k} [/mm] um, was ich ja durch den Taschenrechner zuvor ebenfalls als Ergebnis errechnet bekommen habe, damit sollte das so richtig sein.
Nur habe ich nun ein Problem :
Wenn ich das t' in mein Integral einsetze, kommt nicht der Wert raus, der raus kommen sollte; damit scheint es wohl leider falsch zu sein :(
[mm] \integral_{\bruch{ln(120*(\wurzel{7}-2))}{k}}^{\bruch{ln(240)}{k}}{f_{k}(t) dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{4401,57}{k}
[/mm]
Und es sollte ja eigentlich nur [mm] \bruch{1}{4} [/mm] der Gesamtfläche
A = [mm] \bruch{9600}{k} [/mm] sein,
sprich [mm] \bruch{2400}{k}.
[/mm]
Kann mir da vielleicht jemand weiter helfen? War es vielleicht sogar der falsche Lösungsansatz?
Ich hoffe auf die Richtigkeit von [mm] \bruch{9600}{k} [/mm] als Flächeninhalt der Funktion oberhalb der t- Achse, weil sonst wäre ja quasi alles falsch :(
Ich habe bereits oben erläutert, wie ich darauf gekommen bin. Hoffe nochmals auf eure Hilfe.
Mit freundlichen Grüßen
Maggons
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 So 17.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maggons!
Da musst Du irgendwo einen Rechenfehler eingebaut haben. Ich erhalte mit Deinem Ergebnis auch exakt die gewünschte Fläche:
[mm] $A_{\text{neu}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{9600}{k}-\bruch{80}{k}*\left(120\wurzel{7}-240\right)-\bruch{1}{6k}*\left(120\wurzel{7}-240\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k}*\left[9600-9600\wurzel{7}+19200-\bruch{1}{6}*\left(100800-57600\wurzel{7}+57600\right)\right] [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{2400}{k}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 So 17.12.2006 | | Autor: | Maggons |
Hm ich habe die beiden Werte auch, wie du, per Hand ausgerechnet und bin (für mich) erstaunlicher Weise wirklich auch auf [mm] \bruch{2400}{k} [/mm] gekommen.
Wenn ich es einzeln in meinen Taschenrechner einsetze, bekomme ich auch stetig ein anderes Ergebnis. Aber naja das soll mir einfach mal egal sein.
Nur, nun habe ich noch ein Problem:
Ich bin ja von einer Parallele zur y- Achse ausgegangen; nur wie kann ich die Gleichung dafür angeben? Weil es müsste ja x= sein und nicht y= :(
Da wäre ja nicht jedem x- wert genau ein y- wert zugeordnet, sondern einem x- wert alle y- werte :/ darf man also überhaupt eine Senkrechte benutzen?
Mit freundlichen Grüßen
Maggons
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 So 17.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maggons!
> Ich bin ja von einer Parallele zur y- Achse ausgegangen;
> nur wie kann ich die Gleichung dafür angeben? Weil es
> müsste ja x= sein und nicht y= :(
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Jede Parallele zur y-Achse (im [mm] $\IR^2$ [/mm] ) wird dargestellt durch die Vorschrift $x \ = \ a$ .
> Da wäre ja nicht jedem x- wert genau ein y- wert
> zugeordnet, sondern einem x- wert alle y- werte :/ darf man
> also überhaupt eine Senkrechte benutzen?
Ja, man darf eine solche Senkrechte nutzen. Wir jhaben hier dann ahlt einen "sehr eingeschränkten" Definitionsbereich, in dem lediglich ein einziger Wert enthalten ist.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 So 17.12.2006 | | Autor: | Maggons |
Ok dann gilt nun einfach für mich
G = x = t'
Vielen Dank für deine Hilfe Loddar :)
Ciao
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