Flächenberechnung Parabel < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 So 09.11.2008 | | Autor: | UNR8D |
| Aufgabe | | Die Parabel mit der Gleichung [mm] f(x)=-\bruch{1}{a}x²+a (a\not=0) [/mm] schneidet die x-Achse in den Punkten P1 und P2. Ihr Scheitelpunkt sei Q. Wie verhält sich der Inhalt der Fläche, die die Parabel mit der x-Achse einschließt zum Inhalt des Dreiecks P1P2Q ? |
Hi,
da sich meine Lösung von der angegebenen unterschiedet, ich aber meinen Fehler nicht finde bitte ich euch den mal kurz für mich zu suchen ;).
Also P1 bzw P2 als Nullstellen bestimmen, ergibt x=-a bzw x=+a.
Entsprechend mit Integral die "Parabelfläche" bestimmen ergibt [mm] 2*\integral_{0}^{a}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3} [/mm] a² .
Soweit stimmts mit der Lösung überein.
Dann zur Dreiecksfläche. Dazu habe ich den Funktionswert für den Scheitelpunkt bestimmt.
f'(x) = [mm] \bruch{-2}{a} [/mm] * x
0 = - [mm] \bruch{2}{a} [/mm] * x
x = - [mm] \bruch{a}{2} [/mm]
In f(x) eingesetzt
f(- [mm] \bruch{a}{2} [/mm] ) = - [mm] \bruch{1}{a} [/mm] * [mm] (\bruch{a²}{4}) [/mm] + a = [mm] \bruch{3}{4} [/mm] a
Für die Dreiecksfläche also
1/2 * 2a* 3/4 a = 3/4 a²
A(parabel) : A(dreieck) = 16:9
Laut Lösung ergibt sich aber für die Dreiecksfläche a² und ein Verhältnis von 4:3.
Teilt mir bitte mit wo ich nen Fehler gemacht hab ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 So 09.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo UNR8D!
Du hast den Scheitelpunkt falsch berechnet. Es gilt [mm] $S_a [/mm] \ [mm] \left( \ 0 \ ; \ a \ \right)$ [/mm] ; denn:
> 0 = - [mm]\bruch{2}{a}[/mm] * x
> x = - [mm]\bruch{a}{2}[/mm]
... hieraus ergibt sich doch [mm] $x_S [/mm] \ = \ 0$ .
Du hättest den Scheitelpunkt auch schneller ermitteln können: dieser liegt nämlich immer exakt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen (soweit vorhanden).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 So 09.11.2008 | | Autor: | UNR8D |
Hallo Loddar,
erstmal danke, dass der Scheitelpunkt 0 sein muss ist soweit verständlich.
Dass mir die Ableitung, 0 gesetzt und nach x aufgelöst nicht x = - a/2 gibt also z.B. für a = 5 x = -2,5 wäre sondern eben immer 0 ist liegt wohl dran, dass sich aus
0 = - 2/a * x eigentlich 0*-a/2 = x ergibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 So 09.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo UNR8D!
> Dass mir die Ableitung, 0 gesetzt und nach x aufgelöst
> nicht x = - a/2 gibt also z.B. für a = 5 x = -2,5 wäre
> sondern eben immer 0 ist liegt wohl dran, dass sich aus
> 0 = - 2/a * x eigentlich 0*-a/2 = x ergibt?
Na, und [mm] $0*\text{irgendwas bestimmtes}$ [/mm] ergibt ... ?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 So 09.11.2008 | | Autor: | UNR8D |
Ja ist klar ;)
Mein Fehler war nur dass ich eben nicht 0 * ... stehen hatte sondern eben nur
x = - $ [mm] \bruch{a}{2} [/mm] $
und du das auch so zitiert hattest ;)
Aber jetzt versteh ichs komplett
danke :)
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