Flächenberechnung am Kreis < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Eine Kreisförmige Leiterschleife bewegt sich senkrecht zu den Feldlinien gleichförmig durch ein homogenes magnetisches Feld. Da die Kontakte an der unterseite liegen wird an ihnen beim Eintreten in das Magnetfeld eine Spannung induziert. Die Induktionsspannung kann mit U=-B*A´ berechnet werden. Wie lässt sich die Spannung quantitativ erfassen? |
(Ich weiss, das es sich nach Physik anhört mein Problem ist allerdings ein mathematisches^^)
So mein Ansatz:
Da ich die Fläche bzw. deren 1. Ableitung berechnen muss habe ich zunächst die allgemeine Kreisgleichung x²+y²=r² nach y umgestellt. Das dabei anfallende [mm] \pm [/mm] habe ich zur weiteren Berechnung ignoriert, da die gesamtfläche des Kreises gleich der doppelten oberen Hälfte ist. Somit ergibt sich meine Gleichung zu [mm] y=\wurzel{r²-x²}. [/mm] Von dieser interessiert mich nun die Fläche , d.h. ich bilde das [mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{r²-x²} dx}.
[/mm]
Dabei bildet der Radius mein b. Das a lässt sich durch r-vt beschreiben (die leiterschleife bewegt sich ja mit konstantem v,d.h. das sich die linke Integrationsgrenze mit t verschiebt ).
Somit lässt sich die Fläche der im Magnetfeld befindlichen Leiterschleife durch das Integral [mm] \integral_{r-vt}^{r}{\wurzel{r²-x²} dx} [/mm] beschreiben.
Nun habe ich in einer Formelsammlung folgende Stammfunktion von f(x)= [mm] \wurzel{r²-x²} [/mm] gefunden:
F(x)= [mm] \bruch{x}{2}\wurzel{r²-x²}+\bruch{r²}{2}sin^{-1}(\bruch{x}{r})+c
[/mm]
Mit den beiden Integrationsgrenzen eingesetzt und umgeformt habe ich dann [mm] A(t)=\bruch{\pi}{2}r²-(r-vt)\wurzel{2vtr-v²t²}+r²sin^{-1}(1-\bruch{vt}{r}) [/mm] erhalten.
Als ich diese Formel nun testen wollte musste ich feststellen, dass irgendwas nicht stimmt :(
Denn für vt=2r (ein Halbkreis) erhalte ich als Ergebnis 0.
Was habe ich falsch gemacht?
War das ganze integrieren überhaupt sinnvoll, da ich am Ende eh wieder von A(t) die erste Ableitung bilden muss?
Vielen dank für eure Antworten
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Hallo,
nur zum Integral [mm]\integral_{r-vt}^{r}{\wurzel{r²-x²}\ dx}[/mm]
Dies kannst du sehr leicht geometrisch interpretieren und ganz ohne
Integralrechnung bestimmen.
Der Integrand f(x) = [mm] \wurzel{r²-x²} [/mm] hat als Graph einen Halbkreis
mit Mittelpunkt (0/0) und Radius r.
Verdoppelst du das Integral (und ergänzt den Halb- zum Ganzkreis),
so entspricht es dem Flächeninhalt des Kreissegments, das auf der
rechten Seite der Sekante x= r-vt liegt.
Den Rest kannst du dir planimetrisch selber überlegen (Segment =
Sektor - Dreieck) oder der Geometrie-Formelsammlung entnehmen.
Gruß al-Chwarizmi
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Danke für den Hinweis!
allerding würde mic htrotzdem interessieren, warum mein Ansatz falsch ist.
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ich habe meine Antwort an die frühere Frage angehängt...
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> [mm]\integral_{r-vt}^{r}{\wurzel{r²-x²} dx}[/mm]
>
> Nun habe ich in einer Formelsammlung folgende Stammfunktion
> von f(x)= [mm]\wurzel{r²-x²}[/mm] gefunden:
> F(x)=
> [mm]\bruch{x}{2}\wurzel{r²-x²}+\bruch{r²}{2}sin^{-1}(\bruch{x}{r})+c[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nennen wir dies F(x), also
F(x) = [mm]\bruch{x}{2}\wurzel{r²-x²}+\bruch{r²}{2}sin^{-1}(\bruch{x}{r})+c[/mm]
Dann ist F(r)= [mm] \bruch{\pi * r^2}{4}
[/mm]
und F(r-v*t) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \left( (r-v*t)*\wurzel{2*v*t*r-t^2*v^2}+r^2*sin^{-1}(1 - \bruch{v*t}{r})\right) [/mm]
>
> Mit den beiden Integrationsgrenzen eingesetzt und umgeformt
> habe ich dann
> [mm]A(t)=\bruch{\pi}{2}r²-(r-vt)\wurzel{2vtr-v²t²}+r²sin^{-1}(1-\bruch{vt}{r})[/mm]
> erhalten.
Es müsste gelten: A(t) = F(r)-F(r-v*t)
Dabei scheint aber etwas schiefgelaufen zu sein (Faktoren, Vorzeichen genau prüfen!)
>
> Als ich diese Formel nun testen wollte musste ich
> feststellen, dass irgendwas nicht stimmt :(
>
> Denn für vt=2r (ein Halbkreis) erhalte ich als Ergebnis 0.
das sollte wohl [mm] \bruch{\pi*r^2}{2} [/mm] geben (und klappt mit meinen Formeln jedenfalls)
> Was habe ich falsch gemacht?
> War das ganze integrieren überhaupt sinnvoll, da ich am
> Ende eh wieder von A(t) die erste Ableitung bilden muss?
Wenn nach der gleichen Variablen abgeleitet wird, nach der integriert wurde,
dann war es wohl ein Umweg. Aber wir haben doch nach x integriert, und
jetzt geht es um die Ableitung nach t , sofern ich richtig verstanden habe.
Gruß al-Ch.
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