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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 So 09.07.2006 | | Autor: | Lukasto |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Fläche, die von den Graphen der Funktion F: x [mm] \to [/mm] - [mm] \bruch{1}{9} x^{4} [/mm] + 14 und g: x [mm] \to x^{2} [/mm] - 4 eingeschlossen wird. Fertigen Sie hierzu eine Skizze an. |
Hallo zusammen!
Habe die Aufgabe berechnet, bin mir aber nicht sicher ob sie richtig ist ( eher sicher dass sie falsch ist ). Bitte euch sie zu prüfen und mir evtl zu sagen wo mein Fehler liegt. Hier meine Lösung:
Nach gleichsetzen der Funktionen komme ich auf die gemeinsamen Schnittpunkte -3 und 3. Diese sind die Grenzen des Integrals.
[mm] \integral_{-3}^{3}- \bruch{1}{9} x^{4} [/mm] + 14 - ( [mm] x^{2} [/mm] - 4)
[mm] \integral_{-3}^{3}- \bruch{1}{9} x^{4} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] + 18
Stammfunktion von - [mm] \bruch{1}{9} x^{4} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] + 18 =
- [mm] \bruch{1}{45} x^{5} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} x^{3} [/mm] +18x [mm] \vmat{ 3 \\ -3 }
[/mm]
Als Ergebnis bekomme ich dann einen Flächeninhalt von 39,60 raus. Wenn ich mir den Graphen und den zu berechnenden Flächeninhalt anschaue ist mir das Ergebnis etwas niedrig.
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
P.S.: Hab es nicht besser hinbekommen die Integrale darzustellen, sorry dafür.
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Hallo!
Die Stammfunktion stimmt.
Das Ergebnis nicht. Du hast Dich mit den Brüchen vermutlich verrechnet.
[mm] $\frac{396}{5}$ [/mm] und nicht [mm] $\frac{396}{10}=39,6$
[/mm]
Gruß
mathemak
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 So 09.07.2006 | | Autor: | Lukasto |
Ich glaub jetzt hab ich den Fehler. Ich habe nur einmal die 3 in die Integralfunktion eingesetzt, aber die -3 nicht. Wenn ich richtig liege muss ich die Integralfunktion absolut setzen, was dann bedeutet das ich das doppelte heraus bekomme. Somit A = 79,20.
[mm] \vmat{- \bruch{1}{45} 3^{5} - \bruch{1}{3} 3^{3} + 18*3 - {(- \bruch{1}{45} (-3)^{5} - \bruch{1}{3} (-3)^{3} + 18*(-3) )}}
[/mm]
Kann das jemand bestätigen? Und kan mir jemand erklären mit welcher Rechnung mathemak auf [mm] \bruch{396}{5} [/mm] kommt? Ich tu mir immer leichter die Brüche auszurechenen und dann weiter zu rechnen.
Gruß und Dank
Lukasto
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Hallo Lukasto!
Hast Du Dir mal ein Schaubild gezeichnet und die Fläche markiert?
$ [mm] \integral_{-3}^{3}{(f(x)-g(x)) dx} [/mm] $
Die Reihenfolge $f(x)-g(x)$ ist wichtig, immer "obere minus untere Funktion".
$ [mm] \integral_{-3}^{3}{(f(x)-g(x) dx} =\left[ -\frac{1}{45}\,x^5 -\frac{1}{3}\,x^3+18\,x\right]_{-3}^3$
[/mm]
Jetzt wird zuerst die obere Grenze in die $[ [mm] \;\;]$ [/mm] eingesetzt und dann die untere, wobei letzteres subtrahiert wird.
[mm] $=\left( -\frac{243}{45} - \frac{27}{3} + 54 \right) [/mm] - [mm] \left( \frac{243}{45} + \frac{27}{3} - 54\right) [/mm] = [mm] \frac{396}{5}$ [/mm] Flächeneinheiten
Integralfunktion ist hier der falsche Begriff. Du meinst wohl eher Integrandenfunktion (das was zwischen [mm] $\int$ [/mm] und [mm] $d\,x$ [/mm] steht).
Integralfunktion: z.B. [mm] $\int_{a}^{x} f(t)\, d\,t$ [/mm] (variable obere Grenze)
Gruß
mathemak
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 So 09.07.2006 | | Autor: | Lukasto |
Servus Mathemak und danke für Deine Hilfe!
Ja, ich hab die beiden Graphen gezeichnet, dadurch war ich mir auch ziemlich sicher das meine erste Lösung nicht stimmte.
Wenn ich die von dir gegebene Lösung [mm] \bruch{396}{5} [/mm] ausrechne, komme ich auf 79,20. Also dem doppelten meiner ersten Lösung. So weit so gut, was ich aber immer noch nicht verstehe ist, wie du auf den Bruch [mm] \bruch{396}{5} [/mm] kommst. Das bekomm ich nicht hin. Die Lösung 79,20 schon, aber mit welchen rechenwegen bist du auf diesen Bruch gekommen? Desweiteren müsste die Lösung - [mm] \bruch{396}{5} [/mm] heißen, da alles im Minus steht. Durch das absolut setzen wird es jedoch positiv, richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:34 Mo 10.07.2006 | | Autor: | Mark. |
(- [mm] \bruch{243}{45}- \bruch{27}{3}+54)-( \bruch{243}{45}+\bruch{27}{3}-54)
[/mm]
=2 [mm] \*(- \bruch{243}{45}- [/mm] [mm] \bruch{27}{3} [/mm] +54)
=2 [mm] \*(- \bruch{243}{45}-9+54)
[/mm]
=2 [mm] \*(- \bruch{243}{45}+45)
[/mm]
=2 [mm] \*(- \bruch{243}{45}+ \bruch{2025}{45})
[/mm]
=2 [mm] \*(- \bruch{1782}{45})
[/mm]
=2 [mm] \*(- \bruch{198}{5})
[/mm]
=- [mm] \bruch{396}{5}
[/mm]
über obige rechnung (Integration, 'Einsetzen')hab ich nicht drübergesehen, kann also nicht sagen, ob die stimmt
bzgl. des Vorzeichens: ein Flächeninhalt ist natürlich immer positiv. deswegen musst du den Betrag des Ergebnisses betrachten (am besten Betragstriche von Anfang an um dein Integral setzen, dann hast du gar keine Probleme)
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