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Forum "Integralrechnung" - Flächeninhalt
Flächeninhalt < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Flächeninhalt: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 So 18.01.2015
Autor: Schlumpf004

Aufgabe
Berechnen Sie den Flächeninhalt des zwischen den Kurven
[mm] f(x)=x^2 [/mm] , [mm] g(x)=x^{-2} [/mm] und h(x)=4 aufgespannten Bereiches.
Bestimmen Sie die Schnittpunkt der Kurven und fertigen Sie eine Skizze an.
Eventuelle Symmetrien dürfen ausgenutzt werden.


Hi,

ich weiss hier gar nicht wie ich anfangen soll , an der skizze kann ich ja die Schnittpunkte sehen ,aber wie soll ich das rechnerisch machen.. wegen [mm] x^{-2} [/mm]

LG
Schlumpf

        
Bezug
Flächeninhalt: Funktion f ?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:52 So 18.01.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> Berechnen Sie den Flächeninhalt des zwischen den Kurven
>  [mm]f(x)^2[/mm] , [mm]g(x)=x^{-2}[/mm] und h(x)=4 aufgespannten Bereiches.
>  Bestimmen Sie die Schnittpunkt der Kurven und fertigen Sie
> eine Skizze an.
>  Eventuelle Symmetrien dürfen ausgenutzt werden.
>  Hi,
>  
> ich weiss hier gar nicht wie ich anfangen soll , an der
> skizze kann ich ja die Schnittpunkte sehen ,aber wie soll
> ich das rechnerisch machen.. wegen [mm]x^{-2}[/mm]
>  
> LG
>  Schlumpf


Guten Abend

ich vermute, dass auch die Funktion f noch vorgegeben
war. Nur hast du sie leider gar nicht angegeben !

LG


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Bezug
Flächeninhalt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:52 So 18.01.2015
Autor: Schlumpf004

Sorry, habe es verbessert

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Bezug
Flächeninhalt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:03 So 18.01.2015
Autor: Schlumpf004

Und auch wenn ich die Schnittpunkte habe... wie soll ich bei 3 funktionen immer wissen wie man dafür die Funktionen bildet für A=...
Es kann ja 2 verschiedene Integrale sein.. indem beispiel kann man mal 2 machen wegen der symmetrie
Also ob [mm] x^2 [/mm] -4 oder [mm] -x^2+4 [/mm] wie muss ich das genau wissen

Bezug
                
Bezug
Flächeninhalt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 So 18.01.2015
Autor: MathePower

Hallo Schlumpf004,

> Und auch wenn ich die Schnittpunkte habe... wie soll ich
> bei 3 funktionen immer wissen wie man dafür die Funktionen
> bildet für A=...
>  Es kann ja 2 verschiedene Integrale sein.. indem beispiel
> kann man mal 2 machen wegen der symmetrie
>  Also ob [mm]x^2[/mm] -4 oder [mm]-x^2+4[/mm] wie muss ich das genau wissen  


Es kann nur ein Integral  sein, da h(x)=4 eine Parallele zur y-Acshe ist,
und somit eine Grenze fest liegt.


Gruss
MathePower

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Bezug
Flächeninhalt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:20 So 18.01.2015
Autor: Schlumpf004

Du meinst glaub ich mal x-Achse oder meinst du nicht parallel zu y-Achse oder so ähnlich?

Bezug
                                
Bezug
Flächeninhalt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:25 So 18.01.2015
Autor: MathePower

Hallo Schlumpf004,

> Du meinst glaub ich mal x-Achse oder meinst du nicht
> parallel zu y-Achse oder so ähnlich?


Ja, ich meinte x-Achse.


Gruss
MathePower

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Bezug
Flächeninhalt: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:54 So 18.01.2015
Autor: Schlumpf004

Da sind aber zwei Integrale A= [mm] 2*\integral_{0,5}^{1}{4-\bruch{1}{x^2} dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{2}{4-x^2 dx} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Flächeninhalt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:24 So 18.01.2015
Autor: Schlumpf004

Es sind aber zwei Integrale A= [mm] 2*\integral_{0,5}^{1}{4-\bruch{1}{x^2} dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{2}{4-x^2 dx} [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Flächeninhalt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:49 So 18.01.2015
Autor: Schlumpf004


Bezug
        
Bezug
Flächeninhalt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 So 18.01.2015
Autor: Steffi21

Hallo, zunächst mal als Skizze:

[Dateianhang nicht öffentlich]

die farbig unterlegten Flächen in den jeweiligen Intervallen sind gesucht

die Schnittstellen kannst du durch Gleichsetzen der Funktionen ermitteln

Steffi

sorry, jetzt sollten die Funktionen korrekt sein


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Flächeninhalt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 So 18.01.2015
Autor: Schlumpf004

Bist du dir da sicher , dass diese Skizze so stimmt? Ich habe eine ganz andere...

Bezug
                        
Bezug
Flächeninhalt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:51 So 18.01.2015
Autor: Schlumpf004

Wie gesagt ich habe eine ganz andere Skizze , ich denke hast einen Fehler bei [mm] 1/x^2 [/mm] gemacht also bei der Skizze..

Naja ich habe mal von meiner Skizze die Grenzwerte abgelesen (nicht ausgerechnet)

A= [mm] \integral_{0}^{1}{x^2-1/x^2 dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{2}{x^2-4 dx} [/mm]
...
...
A=| [mm] -\bruch{16}{3}| [/mm] = [mm] \bruch{16}{3} [/mm]


Stimmt das ?Muss man hier auch noch *2 machen wegen Symmetrie? Und würde es i-wie schlimm sein, dass ich wegen x^-2 in der Prüfung die Grenzwerte von der Skizze ablesen würde?

Bezug
                                
Bezug
Flächeninhalt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 So 18.01.2015
Autor: Steffi21

Hallo,

zu lösen ist

[mm] 2*[\integral_{0,5}^{1}{4-\bruch{1}{x^2}dx}+\integral_{1}^{2}{4-x^2 dx}] [/mm]

Steffi

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Bezug
Flächeninhalt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 So 18.01.2015
Autor: chrisno

Dann zeig Deine Skizze. Du kannst auch einfach einsetzen: x = 1,  ... und nachrechnen ob die Punkte stimmen. Also rechne vor, wo die gezeigten Funktionsgrphen falsch sind.

Bezug
                                
Bezug
Flächeninhalt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:19 So 18.01.2015
Autor: Schlumpf004

Ich weiss nicht wie man hier eine Skizze hinzufügt aber die von Steffi stimmt jetzt die hatte ich auch...

So jetzt zur Rechnung: im Lösungsheft steht, dass die Lösung [mm] \bruch{16}{3} [/mm] lautet.
Bei meiner rechnung habe ich auch [mm] \bruch{16}{3} [/mm] erhalten ist denke ich mal Zufall.

A= [mm] 2*\integral_{0,5}^{1}{4-\bruch{1}{x^2} dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{2}{4-x^2 dx} [/mm]
= 2*(4x+ [mm] \bruch{1}{x}) [/mm] + (4x - [mm] \bruch{1}{3}x^3 [/mm] )
= 2*(1+5/3)= 16/3
Danke Steffi das muss stimmen !
Jetzt eine letzte Frage: wie kommst du auf  A= [mm] 2*\integral_{0,5}^{1}{4-\bruch{1}{x^2} dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{2}{4-x^2 dx} [/mm] ich habe ja eine falsche Funktionsgleichung erstellt. Was muss ich hierbei beachten?

Bezug
                                        
Bezug
Flächeninhalt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:52 Mo 19.01.2015
Autor: meili

Hallo,

> Ich weiss nicht wie man hier eine Skizze hinzufügt aber
> die von Steffi stimmt jetzt die hatte ich auch...
>  
> So jetzt zur Rechnung: im Lösungsheft steht, dass die
> Lösung [mm]\bruch{16}{3}[/mm] lautet.
>  Bei meiner rechnung habe ich auch [mm]\bruch{16}{3}[/mm] erhalten
> ist denke ich mal Zufall.
>  
> A= [mm]2*\integral_{0,5}^{1}{4-\bruch{1}{x^2} dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{1}^{2}{4-x^2 dx}[/mm]

Hier fehlen noch Klammern:
A= [mm]2*\left(\integral_{0,5}^{1}{4-\bruch{1}{x^2} dx}+\integral_{1}^{2}{4-x^2 dx}\right)[/mm]

>  = 2*(4x+ [mm]\bruch{1}{x})[/mm] + (4x -
> [mm]\bruch{1}{3}x^3[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

)
Ebenso:
$ = 2*\left( \left.\left(4x + \bruch{1}{x}\right) \right|^1_{0,5}+ \left. \left(4x-\bruch{1}{3}x^3\right) \right|^2_1 \right)$

>  = 2*(1+5/3)= 16/3

[ok]

>  Danke Steffi das muss stimmen !
>  Jetzt eine letzte Frage: wie kommst du auf  A=
> [mm]2*\integral_{0,5}^{1}{4-\bruch{1}{x^2} dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{1}^{2}{4-x^2 dx}[/mm] ich habe ja eine falsche
> Funktionsgleichung erstellt. Was muss ich hierbei beachten?

Es werden die beiden auf der Zeichnung türkis gefärbten Flächen
berechnet. Da die Funktionen symmetrich zur y-Achse sind, wird nur die
Fläche im 1.Quadranten berechnet und dann verdoppelt.

Die berechnete Fläche wird noch in 2 Teile zerlegt, da sich die Funktionen
f und g im Punkt (1;1) schneiden; und die Funktionen g und h schneiden
sich im Punkt (0,5;4) und f und h im Punkt (2;4).
Deshalb die Integrationsgrenzen 0,5 und 1, und 1 und 2.
Die Funktion h liegt in beiden Integralen oberhalb (begrenzt die Fläche oben),
g liegt im ersten Integral unterhalb und im 2. Integral liegt f unterhalb
(begrenzen die Fläche unten).

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Flächeninhalt: anderes Gebiet zwischen Kurven
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:32 Di 20.01.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> die farbig unterlegten Flächen in den jeweiligen
> Intervallen sind gesucht


Guten Abend allerseits !

Ich hätte zwar dieselben Graphen gezeichnet und trotzdem
ein anderes Gebiet ausgewählt, nämlich das zusammenhängende
Gebiet, welches von den 3 Graphen berandet wird, in x-Richtung
von -1 bis +1 und in y-Richtung von 0 bis 4 reicht.
Eigentlich muss man also die Aufgabenstellung etwas kriti-
sieren, da das gesuchte Gebiet nicht wirklich eindeutig
beschrieben wird. Irgendwie erinnere ich mich sogar an diese
bzw. eine ganz analoge Aufgabe, die ich vor laanger Zeit
einmal selber gestellt habe. Vermutlich stand die irgendwo
in einem typischen Schulbuch als Übungsaufgabe ...

Seltsamerweise kommt man für das besagte zusammen-
hängende Gebiet auf exakt denselben Flächeninhalt wie
für das in obiger Zeichnung von Steffi türkis gefärbte,
zweiteilige Gebiet !
Dies bedeutet z.B. auch, dass das Gebiet, welches im
ersten Quadranten von Parabel, y-Achse und der Geraden
y=4  umschlossen wird, durch den rechten (grün dargestellten)
Hyperbelast exakt halbiert wird.

LG ,   Al-Chw.

Bezug
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