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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Mo 01.05.2006 | | Autor: | stray |
| Aufgabe 1 | | Bestimmen Sie den von der Kurve [mm] xy = 4 [/mm], der x-Achse und den Geraden [mm] x = e [/mm] und [mm] x = 2e [/mm] berandeten Flächeninhalt. |
| Aufgabe 2 | Welche Fläche wird durch die beiden Kurven mit den Gleichungen
[mm] 2(y - 1)^2 = x [/mm] und [mm] (y-1)^2 = x - 1 [/mm] berandet ? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aufgabe 1
[mm] f_1 : y = \bruch{4}{x} [/mm]
[mm] f_2 : x_1 = 2,72 [/mm]
[mm] f_3 : x_2 = 5,44 [/mm]
[mm] f_4 : y = 0 [/mm]
Flächeninhalt:
A = [mm] | \integral_{x_1}^{x_2} | f(x) | dx [/mm] |
angewandt:
A = [mm] | \integral_{2,72}^{5,44} | \bruch{4}{x} | dx [/mm] |
= 0,74
Aufgabe 2
Stimmt es, dass beide Kurven Wurzelfunktionen sind ?
d.h.
für
[mm] 2(y - 1)^2 = x [/mm] ==> [mm] y = \wurzel{\bruch {x}{2}} + 1 [/mm]
und für
[mm] (y-1)^2 = x - 1 [/mm] ==> [mm] y = \wurzel{x-1} + 1 [/mm]
Mit der Formel für den Flächeninhalt von oben kommt man da ja nicht weiter,
aber wie wird es für diesen Fall berechnet ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Stray,
die Rechnung für die Aufgabe 1 ist soweit okay, allerdings bin ich mir nicht ganz klar, ob Du wirklich das Integral ausgewertet hast und dabei nur den Faktor 4 vergessen hast oder ob Du die Grenzwerte des Integrals einfach nur in den Integranden setztest. Egal wie, die Stammfunktion zu Deinem Integranden ist ja der natürliche Logarithmus und wenn ich in diesen die obere und die untere Grenze einsetze, so muss etwas in der Größenordnung von 2,8 rauskommen (im Kopf überschlagen), nämlich 4 mal ca. 0,7.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Di 02.05.2006 | | Autor: | stray |
| Aufgabe | Welche Fläche wird durch die beiden Kurven mit den Gleichungen
[mm] 2(y-1)^2 = x [/mm] und [mm] (y-1)^2 = x - 1 [/mm] berandet ? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aufgabe 2
Stimmt es, dass beide Kurven Wurzelfunktionen sind ?
d.h.
für
[mm]2(y - 1)^2 = x[/mm] ==> [mm]y = \wurzel{\bruch {x}{2}} + 1[/mm]
und für
[mm](y-1)^2 = x - 1[/mm] ==> [mm]y = \wurzel{x-1} + 1[/mm]
Mit der Formel für den Flächeninhalt von oben kommt man da
ja nicht weiter,
aber wie wird es für diesen Fall berechnet ?
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Hallo stray!
> Stimmt es, dass beide Kurven Wurzelfunktionen sind ?
> d.h. für
> [mm]2(y - 1)^2 = x[/mm] ==> [mm]y = \wurzel{\bruch {x}{2}} + 1[/mm]
>
> und für
> [mm](y-1)^2 = x - 1[/mm] ==> [mm]y = \wurzel{x-1} + 1[/mm]
Streng genommen musst Du hier jeweils zwei Lösungen erhalten:
[mm] $y_{1/2} [/mm] \ = \ 1 \ [mm] \red{\pm} [/mm] \ [mm] \wurzel{\bruch{x}{2}}$
[/mm]
bzw.
[mm] $y_{1/2} [/mm] \ = \ 1 \ [mm] \red{\pm} [/mm] \ [mm] \wurzel{x-1}$
[/mm]
Wenn man sich hier dann eine Skizze macht, sieht man auch, dass die Flächenberechung (zumindest auf die halbe Fläche gesehen) wie sonst mit der Formel
$A \ = \ [mm] \integral_{x_1}^{x_2}{f(x)-g(x) \ dx} [/mm] \ = \ ...$
berechnet werden kann:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Alternativ kannst Du hier auch die beiden Umkehrfunktionen betrachten (durch die Spiegelung an der Winkelhalbierenden bleibt die Fläche ja unverändert).
Dann lauten die beiden Funktionen:
$y \ = \ f(x) \ = \ [mm] 2*(x-1)^2$ [/mm] sowie $y \ = \ g(x) \ = \ [mm] (x-1)^2+1$
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß vom
Roadrunner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:53 Mi 03.05.2006 | | Autor: | stray |
Funktionen
f(x) =
> [mm]y_{1/2} \ = \ 1 \ \red{\pm} \ \wurzel{\bruch{x}{2}}[/mm]
> bzw.
g(x) =
> [mm]y_{1/2} \ = \ 1 \ \red{\pm} \ \wurzel{x-1}[/mm]
> [mm]A \ = \ \integral_{x_1}^{x_2}{f(x)-g(x) \ dx} \ = \ ...[/mm]
[mm]A \ = \ \integral_{0}^{2}{f(x)-g(x) \ dx} \ = [/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2}{(1 + \wurzel{\bruch{x}{2}}) - (1 + \wurzel{x-1}) \ dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2} [/mm] 1 dx + [mm] \integral_{0}^{2} \wurzel{\bruch{x}{2}} [/mm] dx - [mm] \integral_{0}^{2} [/mm] 1 dx - [mm] \integral_{0}^{2} \wurzel{x-1} [/mm] dx
= x [mm] |_0^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2}x^\bruch{3}{2}|_0^2 [/mm] - x [mm] |_0^2 -\bruch{2}{3}(x-1)^\bruch{3}{2}|_0^2
[/mm]
= 0 + [mm] \bruch{1}{3}\wurzel{2} [/mm] * [mm] 0^\bruch{3}{2} [/mm] - 0 - [mm] \bruch{2}{3}(0-1)^\bruch{3}{2} [/mm]
- (2 + [mm] \bruch{1}{3}\wurzel{2} [/mm] * 2 [mm] ^\bruch{3}{2} [/mm] - 2 - [mm] \bruch{2}{3}(2-1)^^\bruch{3}{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{3}\wurzel{2} [/mm] * [mm] 0^\bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{2}{3}(0-1)^\bruch{3}{2} [/mm] - (2,67 - 2 - 0,32)
= 0,07 - 0,35 = 0,07
Für die Umkehrfunktion:
> Dann lauten die beiden Funktionen:
f(x)
> [mm]y \ = \ f(x) \ = \ 2*(x-1)^2[/mm] sowie
g(x)
> [mm]y \ = \ g(x) \ = \ (x-1)^2+1[/mm]
[mm]A \ = \ \integral_{0}^{2}{f(x)-g(x) \ dx} \ = [/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2}{(2*(x-1)^2) - ((x-1)^2 + 1 ) dx}
[/mm]
= 2 * [mm] \integral_{0}^{2}(x-1)^2 [/mm] dx - [mm] \integral_{0}^{2}(x-1)^2 [/mm] dx - [mm] \integral_{0}^{2} [/mm] 1 dx
= 2 - x [mm] |_0^2 [/mm] = ( 2 - 0 ) - (2 - 2) = 2 - 0 = 2
Mir erscheint die Lösung über die Umkehrfunktion richtig zu sein - Oder ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Fr 05.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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