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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Wie muss a>0 gewählt werden,wenn die beiden markierten Flächen gleich groß sein sollen? |
Hallo ^^
Ich hab noch eine Übungsaufgabe gerechnet,weiß nicht ob die so korrekt ist.
Ich hab ja zuerst meine 3 Funktionen:
[mm] f(x)=x^{2}
[/mm]
[mm] g(x)=x^{3}
[/mm]
h(x)=ax
Schnittstellen von f und g f(x)=g(x) --> x=1
Mein Intervall für den 1.Quadranten lautet also [0;1]
Dann berechne ich zuerst die Fläche von f(x)
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}
[/mm]
Fläche: [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Jetzt die von g(x): [mm] \integral_{0}^{1}{g(x) dx} Fläche:\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}=\bruch{1}{12}, [/mm] das ist jetzt die Fläche im 1.Quadranten.
Jetzt kommt die im 3.Quadrante:
g(x)=h(x) ---> [mm] x=\wurzel{a}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{a}}{h(x) dx}=[\bruch{1}{2}ax^{2}]
[/mm]
[mm] H(\wurzel{a})=\bruch{1}{2}a^{2}
[/mm]
Jetz von g(x): [mm] \integral_{0}^{\wurzel{a}}{g(x) dx}=[\bruch{1}{4}x^{4}]
[/mm]
[mm] G(\wurzel{a})=\bruch{1}{4}a^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}a^{2}-\bruch{1}{4}a^{2}=\bruch{1}{4}a^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4}a^{2}=\bruch{1}{12}
[/mm]
[mm] a^{2}=\bruch{1}{3}
[/mm]
a=0,577
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ist das in Ordnung so?
lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Wie muss a>0 gewählt werden,wenn die beiden markierten
> Flächen gleich groß sein sollen?
> Hallo ^^
>
> Ich hab noch eine Übungsaufgabe gerechnet,weiß nicht ob die
> so korrekt ist.
>
> Ich hab ja zuerst meine 3 Funktionen:
> [mm]f(x)=x^{2}[/mm]
> [mm]g(x)=x^{3}[/mm]
> h(x)=ax
>
> Schnittstellen von f und g f(x)=g(x) --> x=1
>
> Mein Intervall für den 1.Quadranten lautet also [0;1]
>
> Dann berechne ich zuerst die Fläche von f(x)
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]
>
> Fläche: [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Jetzt die von g(x): [mm]\integral_{0}^{1}{g(x) dx}[/mm] [mm] Fläche:\bruch{1}{4}
[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}=\bruch{1}{12},[/mm] das ist jetzt die
> Fläche im 1.Quadranten.
so weit alles richtig !
> Jetzt kommt die im 3.Quadrante:
>
> g(x)=h(x) ---> [mm]x=\wurzel{a}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
für x<0 und a>0 gilt:
g(x)=h(x) [mm] \Rightarrow x^3=a*x \Rightarrow x^2=a \Rightarrow x=-\wurzel{a} [/mm]
Der Rest wird nochmals zu rechnen sein.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Ist das in Ordnung so?
> lg
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> so weit alles richtig !
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> > Jetzt kommt die im 3.Quadrante:
> >
> > g(x)=h(x) ---> [mm]x=\wurzel{a}[/mm]
>
> für x<0 und a>0 gilt:
> g(x)=h(x) [mm]\Rightarrow x^3=a*x \Rightarrow x^2=a \Rightarrow x=-\wurzel{a}[/mm]
>
>
> Der Rest wird nochmals zu rechnen sein.
Ist [mm] a=\bruch{1}{3} [/mm] ?
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>
> > so weit alles richtig !
> >
> > > Jetzt kommt die im 3.Quadrante:
> > >
> > > g(x)=h(x) ---> [mm]x=\wurzel{a}[/mm]
> >
> > für x<0 und a>0 gilt:
> > g(x)=h(x) [mm]\Rightarrow x^3=a*x \Rightarrow x^2=a \Rightarrow x=-\wurzel{a}[/mm]
> >
> >
> > Der Rest wird nochmals zu rechnen sein.
>
> Ich bekomm für a trotzdem das gleiche Ergebnis,weil durch
> die geraden Exponenten in der Stammfunktion die negative
> Wurzel wieder positiv wird,also ist doch a=0,577 oder
> nicht?
Hallo Mandy,
Das habe ich gerade auch gemerkt. a=0.577 ist richtig.
Nur deine Argumentation war nicht ganz durchschaubar.
Offenbar hast du das Gebiet im 3.Quadranten am Nullpunkt
gespiegelt und dann eine Fläche im ersten Quadranten,
also mit positiven x und y, berechnet.
Gruß al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
jetzt muss ich mich selbst wiedersprechen,ich bekomm für [mm] a=\bruch{1}{3} [/mm] raus.Wenn ich nämlich das Integral [mm] \integral_{-\wurzel{a}}^{0}{h(x) dx} [/mm] berechne ,bekomme ich [mm] -\bruch{1}{2}a^{2} [/mm] raus.(Hier werden nämlich die Integrationsgrenzen vertauscht und eben hab ich ohne vertauschte Integrationsgrenzen gerechnet.)
Dann berechne ich das selbe Integral mit g(x) und bekomme [mm] -\bruch{1}{4}a^{2}.
[/mm]
Wenn ich g von f abziehe hab ich [mm] -\bruch{3}{4}a^{2}=\bruch{1}{12} [/mm] und das ganze nach a aufgelöst gibt [mm] a=\bruch{1}{3} [/mm] oder ?
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Hallo Mandy_90,
> Hallo,
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> jetzt muss ich mich selbst wiedersprechen,ich bekomm für
> [mm]a=\bruch{1}{3}[/mm] raus.Wenn ich nämlich das Integral
> [mm]\integral_{-\wurzel{a}}^{0}{h(x) dx}[/mm] berechne ,bekomme ich
> [mm]-\bruch{1}{2}a^{2}[/mm] raus.(Hier werden nämlich die
> Integrationsgrenzen vertauscht und eben hab ich ohne
> vertauschte Integrationsgrenzen gerechnet.)
> Dann berechne ich das selbe Integral mit g(x) und bekomme
> [mm]-\bruch{1}{4}a^{2}.[/mm]
> Wenn ich g von f abziehe hab ich
> [mm]-\bruch{3}{4}a^{2}=\bruch{1}{12}[/mm] und das ganze nach a
> aufgelöst gibt [mm]a=\bruch{1}{3}[/mm] oder ?
Du machst dir das Leben (und die Lösung) unnötig schwer, indem du die Aufgabe in so viele verwirrende Einzelschritte zerlegst.
Wenn du eine Fläche zwischen zwei Graphen berechnen willst, genügt es i.a., wenn du den Ansatz
[mm] A=|\integral_{a}^{b}{g(x)-f(x) dx}| [/mm] wählst. Denn dann brauchst du dich um die Reihenfolge der Terme f(x) und g(x) nicht mehr zu kümmern, das Ergebnis ist immer >0.
konkret bei deiner Aufgabe:
[mm] A_1=|\integral_{0}^{1}{x^2-x^3 dx}| [/mm] und [mm] \red{ A_2=|\integral_{-\wurzel{a}}^{0}{x^3-\bruch{a}{2}x dx}| } [/mm] sollen gleich groß sein.
Tippfehler: es muss heißen: [mm] A_2=|\integral_{-\wurzel{a}}^{0}{(x^3-a*x) dx}|
[/mm]
weil [mm] g(x)=x^3 [/mm] undf(x)=a*x sein soll (siehe oben)
[mm] A_1 [/mm] ausrechnen, zunächst das Integral ohne die Betragsstriche, dann ggfs. das Minuszeichen weglassen,
[mm] A_2 [/mm] ausrechnen, zunächst das Integral ohne die Betragsstriche, dann ggfs. das Minuszeichen weglassen,
[mm] A_1=A_2 [/mm] hinschreiben und ausrechnen.
Ich erhalte das von dir zunächst beschriebene Ergebnis: [mm] a^2=\bruch{1}{3} \Rightarrow a=\bruch{\wurzel{3}}{3}\approx [/mm] 0,577
Alles klar?
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Di 23.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Du machst dir das Leben (und die Lösung) unnötig schwer,
> indem du die Aufgabe in so viele verwirrende Einzelschritte
> zerlegst.
>
> Wenn du eine Fläche zwischen zwei Graphen berechnen willst,
> genügt es i.a., wenn du den Ansatz
>
> [mm]A=|\integral_{a}^{b}{g(x)-f(x) dx}|[/mm] wählst. Denn dann
> brauchst du dich um die Reihenfolge der Terme f(x) und g(x)
> nicht mehr zu kümmern, das Ergebnis ist immer >0.
>
> konkret bei deiner Aufgabe:
>
> [mm]A_1=|\integral_{0}^{1}{x^2-x^3 dx}|[/mm] und
> [mm]A_2=|\integral_{-\wurzel{a}}^{0}{x^3-\bruch{a}{2}x dx}|[/mm]
> sollen gleich groß sein.
Aber warum denn jetzt [mm] \bruch{a}{2}x?In [/mm] der Aufgabe stand doch,dass die Funktion ax ist ?
> [mm]A_1[/mm] ausrechnen, zunächst das Integral ohne die
> Betragsstriche, dann ggfs. das Minuszeichen weglassen,
> [mm]A_2[/mm] ausrechnen, zunächst das Integral ohne die
> Betragsstriche, dann ggfs. das Minuszeichen weglassen,
> [mm]A_1=A_2[/mm] hinschreiben und ausrechnen.
>
> Ich erhalte das von dir zunächst beschriebene Ergebnis:
> [mm]a^2=\bruch{1}{3} \Rightarrow a=\bruch{\wurzel{3}}{3}\approx[/mm]
> 0,577
>
> Alles klar?
>
> Gruß informix
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Hallo Mandy!
Das wird sich um einen schlichten Tippfehler handeln. Es muss natürlich [mm] $\bruch{a}{2}*x^{\red{2}}$ [/mm] heißen.
Gruß vom
Roadrunner
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