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Forum "Integralrechnung" - Flächeninhalt
Flächeninhalt < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Flächeninhalt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:18 Mo 01.06.2009
Autor: Dinker

Aufgabe
f(x) = 4 [mm] -kx^{2} [/mm] ,k grösser 0, Flächeninhalt des graphen mit der x-Achse soll 8 ergeben

Hallo


Nullstelle

0 = 4 [mm] -kx^{2} [/mm]

[mm] x^{2} [/mm] = [mm] \bruch{4}{k} [/mm]

x = [mm] \pm \bruch{2}{\wurzel{k}} [/mm]

8 = 2* [mm] (\integral_{0}^{\bruch{4}{k}}{4 -kx^{2}} [/mm]

8 = [mm] 2*(\bruch{8}{\wurzel{k}} [/mm] - [mm] \bruch{8}{3\wurzel{k}} [/mm]

[mm] 24\wurzel{k} [/mm] = 48 - 16
[mm] \wurzel{k} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3} [/mm]
k = [mm] \bruch{16}{9} [/mm]

Danke
Gruss Dinker

        
Bezug
Flächeninhalt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:29 Mo 01.06.2009
Autor: MathePower

Hallo Dinker,

> f(x) = 4 [mm]-kx^{2}[/mm] ,k grösser 0, Flächeninhalt des graphen
> mit der x-Achse soll 8 ergeben
>  Hallo
>  
>
> Nullstelle
>  
> 0 = 4 [mm]-kx^{2}[/mm]
>  
> [mm]x^{2}[/mm] = [mm]\bruch{4}{k}[/mm]
>  
> x = [mm]\pm \bruch{2}{\wurzel{k}}[/mm]


[ok]


>  
> 8 = 2* [mm](\integral_{0}^{\bruch{4}{k}}{4 -kx^{2}}[/mm]


Hier muß es doch heißen:

[mm]8 = 2* \integral_{0}^{\red{\bruch{2}{\wurzel{k}}}}{4 -kx^{2}}[/mm]


>  
> 8 = [mm]2*(\bruch{8}{\wurzel{k}}[/mm] - [mm]\bruch{8}{3\wurzel{k}}[/mm]
>  
> [mm]24\wurzel{k}[/mm] = 48 - 16
>  [mm]\wurzel{k}[/mm] = [mm]\bruch{4}{3}[/mm]
>  k = [mm]\bruch{16}{9}[/mm]


Das Ergebnis ist richtig. [ok]


>  
> Danke
>  Gruss Dinker


Gruß
MathePower

Bezug
        
Bezug
Flächeninhalt: Aufgabe b
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 Mo 01.06.2009
Autor: Dinker

Wie muss k gewählt werden, dass der Flächeninhalt maximal wird?

Nullstelle hatte ich:
x = [mm] \bruch{2}{\wurzel{k}} [/mm]

A = [mm] 2*(\integral_{0}^{\bruch{2}{\wurzel{k}}}{4 - kx^{2} dx}) [/mm]

A = [mm] -\bruch{8}{3\wurzel{k}} [/mm] + [mm] \bruch{8}{\wurzel{k}} [/mm]

A' = [mm] \bruch{4}{3k^{1.5}} [/mm] - [mm] \bruch{4}{k^{1.5}} [/mm] Nun darf ich wohl nicht einfach [mm] 3k^{1.5} [/mm] multiplizieren...

0 =  [mm] \bruch{4}{k^{1.5}} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{3} [/mm] - 1)

0 =  [mm] \bruch{4}{k^{1.5}} [/mm] * (2/3)

Irgendwie scheint das auch nicht zu klappen

Danke
Gruss Dinker

Bezug
                
Bezug
Flächeninhalt: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:40 Mo 01.06.2009
Autor: Loddar

Hallo Dinker!


> Nullstelle hatte ich:
>  x = [mm]\bruch{2}{\wurzel{k}}[/mm]
>  
> A = [mm]2*(\integral_{0}^{\bruch{2}{\wurzel{k}}}{4 - kx^{2} dx})[/mm]

[ok]

  

> A = [mm]-\bruch{8}{3\wurzel{k}}[/mm] + [mm]\bruch{8}{\wurzel{k}}[/mm]

Wo ist der Faktor 2 vor dem Integral hin?

Und dann kannst Du hier vor dem Ableiten die beiden Brüche zusammenfassen.


> A' = [mm]\bruch{4}{3k^{1.5}}[/mm] - [mm]\bruch{4}{k^{1.5}}[/mm] Nun darf ich
> wohl nicht einfach [mm]3k^{1.5}[/mm] multiplizieren...

Warum nicht, wenn $k \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ .

  

> 0 =  [mm]\bruch{4}{k^{1.5}}[/mm] * [mm](\bruch{1}{3}[/mm] - 1)
>  
> 0 =  [mm]\bruch{4}{k^{1.5}}[/mm] * (2/3)

Vorzeichenfehler in der Klammer.

  

> Irgendwie scheint das auch nicht zu klappen

Es scheint hier gar kein Extremum zu geben ...


Gruß
Loddar


Bezug
                        
Bezug
Flächeninhalt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 Mo 01.06.2009
Autor: Dinker

D. h. ich sollte mir den Graphen mal aufzeichnen und schauen, wo der Graph die hächste Y-Koordinate hat?

Bezug
                                
Bezug
Flächeninhalt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 Mo 01.06.2009
Autor: Steffi21

Hallo,

der Faktor 2 vor dem Integral spielt nicht die entscheidende Rolle, die Funktion ist symmetrisch zur y-Achse, die Ableitung besagte ja

[mm] A'(k)=-\bruch{8}{3}k^{-1.5} [/mm]

wird nun diese 1. Ableitung gleich Null gesetzt, so ergibt sich k=0, du erhälst eine Parallele zur x-Achse mit y=4, laut Aufgabenstellung gilt aber k>0, somit bekommst du den maximalen Flächeninhalt, wenn k gegen Null geht,
Steffi




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