matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegralrechnungFlächeninhalt - Parameter
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Integralrechnung" - Flächeninhalt - Parameter
Flächeninhalt - Parameter < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Flächeninhalt - Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 Do 18.01.2007
Autor: trination

Aufgabe
f(x)=x²+2ax

a)Zeige das alle Parabeln einen gemeinsamen Punkt haben
b)Für welches a schließt die Parabel mit der Absizzenachse eine Fläche von a FE ein?

1. der gemeinsame Punkte müsste ja bei "0" liegen. Das sieht man jedenfalls, wenn man verschiedene Werte fuer "a" einsetzt. Nur kann man das doch sicherlich auch rechnersich ermitteln?!

2. Wie meinen die das "a FE" ? Wie gehe ich hier vor?

        
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:12 Do 18.01.2007
Autor: Kroni

zu a)
Der Punkt (0;0) ist unabhängig von a, deshalb haben alle Parabeln diesen Punkt gemeinsam.
Für alle x<>0 ist y abhängig von a.

zu b) Abzissenachse ist die x-Achse. D.h. die Fläche, die die Funktion mit der x Achse einschließt soll berechnet werden.
Dafür musst du die beiden Nullstellen (wovon du schon eine hast) berechnen, dann ein Integral von 0 bis zur zweiten Nullstelle bilden, weil dieses ja die Fläche ergibt, die die Funktion f mit der x-Achse einschließt.
Dann musst du a so wählen, dass das Ergebnis des Integrals = a ist.

Slaín,

Kroni

Bezug
                
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:18 Do 18.01.2007
Autor: trination

Ok, danke :)

aber was soll ich fuer ein "a" nehmen um erstmal die Nullstellen zu berechnen?

>  Dann musst du a so wählen, dass das Ergebnis des Integrals
> = a ist.

verstehe ich auch nicht ganz.

Bezug
                        
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Do 18.01.2007
Autor: XPatrickX


> Ok, danke :)
>  
> aber was soll ich fuer ein "a" nehmen um erstmal die
> Nullstellen zu berechnen?

Du musst die Nullstellen ganz allgemein ausrechnen. Dazu kannst du die pq-Formel nehmen.

[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{2a}{2} \pm \wurzel{(\bruch{2a}{2})^{2}} [/mm]


> >  Dann musst du a so wählen, dass das Ergebnis des Integrals

> > = a ist.
>  
> verstehe ich auch nicht ganz.  

Es läuft im Endeffekt auf folgende Gleichung hinaus:
[mm] |\integral_{0}^{2a}{x^{2}+2ax dx}| [/mm] = a


Bezug
                                
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Kleiner Fehler
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:31 Do 18.01.2007
Autor: DesterX

Hi !
Es soll heißen:
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \red{-} \bruch{2a}{2} \pm \wurzel{(\bruch{2a}{2})^{2}} [/mm]

Es ergibt sich dann entsprechend für die Nullstellen: [mm] x_1=-2a [/mm] und [mm] x_2=0 [/mm]

Gruß,
Dester

Bezug
                                        
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:49 Do 18.01.2007
Autor: trination

Also liest man mit der pq Formel nur die Werte ab?

Bezug
                                                
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:51 Do 18.01.2007
Autor: Kroni

Mit Hilfe der pq-Formel bekommst du die Nullstellen deiner quad. Funktion in Abhängigkeit von a heraus.
Du kannst deine Funktion natürlich auch quadratisch ergänzen und es kommt das selbe heraus.
Nun kannst du die Nullstellen der Funktion ablesen und daraus dann die Grenzen für dein Intervall bestimmen, über das du integrieren musst.

Slaín,

Kroni

Bezug
                                                        
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:54 Do 18.01.2007
Autor: trination

Hm ich setze aber doch einfach nur ein und lese dann "p" und "q" ab.

Da rechne ich ja nicht wirklich.

Bezug
                                                                
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Do 18.01.2007
Autor: Kroni

Ja, aber dadurch weist du, dass deine Nullstellen der Funktion
x0=0 v x0=-2a sind.
Hierdurch weist du, dass duv on -2a bis 0 Integrieren musst, um die Fläche zu bekommen, die f(x) mit der x-Achse einschließt.
Und diese Fläche kannst du dann ja berechen mit Hilfe der Stammfunktion und des zweiten Hauptsatzes und dann muss dieses Ergebnis gleich a sein.

Slaín,

Kroni

Bezug
                                                                        
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:01 Do 18.01.2007
Autor: trination

Jo. Nur wollte ich fragen, ob man wirklich nur ablesen muss.

Bezug
                                                                                
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 Do 18.01.2007
Autor: Cristina

Hallo trination

Ja, die Nullstellen musst du im Prinzip wirklich einfach aus der Formel übernehmen. Den Prozess des Umformens, bis du zu den Nullstellen kommst, könnte man aber durchaus als "rechnen" bezeichnen.

Liebe Grüsse, Cristina

Bezug
                                        
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: hoppla
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:22 Do 18.01.2007
Autor: XPatrickX

upps, du hast natürlich recht. Dankeschön :-)

Bezug
                                
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:22 Do 18.01.2007
Autor: trination

Erm... wie musste ich das nochmal schriftlich rechnen... ich kenn das nur noch vom GTR.

Bezug
                                        
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:54 Do 18.01.2007
Autor: Kroni

Quadratische Ergänzung:
f(x)=x²+2ax =x²+2ax+a²-a²=(x+a)²-a²
f(x)=0 <=> (x+a)²=a² <=> x+a=+a v x+a=-a
<=>x=a-a=0 v x=-a-a=-2a

Bezug
                                                
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:57 Do 18.01.2007
Autor: trination

Ich meinte eigentlich wie ich das Integral berechne? Oder berechnet man das so?

Bezug
                                                        
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:01 Fr 19.01.2007
Autor: Kroni

Achso^^
Ne, das war die schriftliche Lösung der quad. Funktion.

Dann musst du ja das Integral von -2a bis 0 berechnen.
[mm] \integral_{-2a}^{0}{x^{2}+2ax dx}=\integral_{-2a}^{0}{x^{2} dx}+\integral_{-2a}^{0}{2ax dx}=\integral_{-2a}^{0}{x^{2} dx}+2a\integral_{-2a}^{0}{x dx} [/mm]
Und das solltest du doch selbst hinbekommen=)

Stelle dir folgende Frage:
Welche Funktion ergibt abgeleitet [mm] x^2 [/mm] und welche Funktion gibt abgeleitet x

Slaín,

Kroni

Bezug
                                                                
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:13 Fr 19.01.2007
Autor: trination

[mm] x^2 [/mm] -> [mm] \bruch{1}{3}x^3 [/mm]

x -> [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm]

Aber ich weiß nicht mehr wie man das aufschreibt ... also die Schreibweise. Ich frische nur altes wissen wieder auf.

Bezug
                                                                
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:19 Fr 19.01.2007
Autor: trination

Also wie mache ich jetzt weiter...schreibweise ^^

Bezug
                                                                        
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:27 Fr 19.01.2007
Autor: Kroni

"Unsere" schreibweise, die wir gelernt haben ist folgende:
$ [mm] \integral_{-2a}^{0}{x^{2}+2ax dx}$=[\bruch{1}{3}x^{3}+2a*0,5x^{2}] [/mm] und dann haben wir unten rechts an die eckige Klammer die untere Grenze also die -2a und oben die obere Grenze, also die 0 angeschrieben.
Und dann kannste den zweiten Hauptsatz der Integralrechnung anwenden:
F(0)-F(-2a)=.....
Und das Ergebnis ist dann deine Fläche...
Und diese Fläche soll dann ja noch gleich a sein.

Slaín,

Kroni

Bezug
                                                                                
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:29 Fr 19.01.2007
Autor: trination

Sorry ich hab noch eine bescheide Frage^^

Was ist der 2. Hauptsatz?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Hauptsatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:37 Fr 19.01.2007
Autor: Loddar

Hallo trination!


Dieser Hauptsatz besagt, dass ein bestimmtes Integral bestimmt wird durch die Differenz der Funktionswerte der zugehörigen Stammfunktion $F(x)_$ ("obere Grenze" minus "untere Grenze"):

[mm] $\integral_{a}^{b}{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ F(x) \ \right]_{a}^{b} [/mm] \ = \ F(b)-F(a)$


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                                
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:42 Fr 19.01.2007
Autor: trination

[mm] \bruch{4}{3}a^2+2a*2a^2.... [/mm] - ...


stimmt das so schonmal? Könnt ihr vl. die Lösung posten, damit ich dann weiß ob ich richtig zusammengefasst habe?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:50 Fr 19.01.2007
Autor: Kroni

das wäre
[mm] -1/3*(-2a)^3-2a*0,5*(-2a0)^2=8/3*a^3-4a^3 [/mm]
da F(0)=0
Denn du sollst ja das Integral von -2a bis 0 berechnen und das ist gleich
[mm] F(0)-F(-2a)=0+8/3a^3-4a^3 [/mm]

Sollte eigentlich stimmen.

Werde jetzt aber auch nicht mehr antworten, erst ab morgen Mittag wieder.
Slaín,

Kroni

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:06 Fr 19.01.2007
Autor: trination


>  [mm]F(0)-F(-2a)=0+8/3a^3-4a^3[/mm]
>  


ich hab [mm] -8/3a^3 [/mm] + [mm] 4a^3 [/mm]



Oh du hast ja dein Betrag editiert ^^ dann kommen wir ja aufs gleiche.


hm [mm] \bruch{4}{3}a^3 [/mm]

und jetzt muss ich das mit irgendwas gleichsetzen.

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:36 Fr 19.01.2007
Autor: Kroni

Right.
[mm] \bruch{4}{3}a^3 [/mm] gibt den Flächeninhalt in Abhängigkeit von a an und dieser soll gleich a sein (s.h. Aufgabenstellung).

Also gleichsetzen und ausrechnen.
[mm] \bruch{4}{3}a^3=a [/mm] <=> [mm] \bruch{4}{3}a^3-a=0 <=>a(\bruch{4}{3}a^2-1)=0 [/mm] <=>a=0 v [mm] a^2=\bruch{3}{4} [/mm]

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:14 Fr 19.01.2007
Autor: trination

Awsome :D

Trotzdem verwirrt mich die Fragestellung: "...eine Fläche a FE"

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Flächeninhalt - Parameter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:06 Fr 19.01.2007
Autor: Kroni

Ja, kann ich verstehen, weil wenn da steht die Fläche soll a FE sein, dann weiß man nicht direkt, was gemeint ist.
Aber da man ja weiß, dass a eine Zahl (die du im Übrigen nicht näher definiert hast, ich wette, dass a nicht Null sein soll/darf) ist, dann weiß man auch etwas damit anzufangen.
Wenn du dir das so abstrakt nicht vorstellen kannst, dann stelle dir doch einfach vor, du habest für das a einen bestimmen Wert eingesetzt, z.B. 1.
So soll dann das Integral von -2 bis 0 von f(x) gleich Eins sein.

Hoffe, die Aufgabe ist jetzt soweit dann verständlich geworden und abschließbar.

Slaín,

Kroni

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]