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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Sa 14.01.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | | Die Gerade y=x-2 und die Gerade x=z schneiden sich in P. Weiter schneidet die Gerade x=z die Funktion f(x) = x-2+ [mm] \bruch{4}{(x+1)^2} [/mm] in Q. R sei der Schnittpunkt der Geraden y=x-2 mit der Y-Achse. Bestimmen sie den Flächeninhalts des Dreiecks in Abhängigkeit von z. Für welchen Wert von z wird der Flächeninhalt maximal? |
Hallo.
Ich verstehe das überhaupt nicht.
Naja, zunächst einmal berechnet man den Flächeninhalt des Dreiecks mit
A= [mm] \bruch{g*h}{2}
[/mm]
Die Punkte sind
Q(z|f(z))
P(z|z-2)
R(0|-2)
Nun ist mein Problem, was ist die Grundseite? Wie erkenne ich sie? Und wie komme ich dann an die Höhe ran, ohne heftige Sinusformeln anzuwenden?
Grüße Phoney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Sa 14.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo phoney
hier ist es am einfachsten 2 rechtwinklige dreiecke zu subtahieren, mach dir ne Skizze, und zeiche eine Waagerechte bei R bis x=z. P und Q liegen dann senkrecht drüber Q garantiert höher als P (warum?) dann subtrahierst du die 2 Flächen und hast die gesuchte.
(Wenn man immer gleich ne Skuzze macht, und "natürliche" rechte Winkel sucht, ist das oft ne grose Hilfe!)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Sa 14.01.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo leduart
> hier ist es am einfachsten 2 rechtwinklige dreiecke zu
> subtahieren, mach dir ne Skizze, und zeiche eine
Habe ich. Jetzt stellt sich für mich die Frage, welche Dreiecke meinst du? Liegt das Dreieck RPQ in dem "neuen" Dreieck? Und wie errechne ich da dann die Höhe? Diese ganzen Z verwirren mich, mit denen ich dann nicht die Winkel berechnen kann. Und Winkel in Abhängigkeit von z ist auch blöde.
> Waagerechte bei R bis x=z. P und Q liegen dann senkrecht
> drüber Q garantiert höher als P (warum?) dann subtrahierst
> du die 2 Flächen und hast die gesuchte.
Weil beim Punkt Q noch der kleine Restbruchterm dazu addiert wird.
> (Wenn man immer gleich ne Skuzze macht, und "natürliche"
> rechte Winkel sucht, ist das oft ne grose Hilfe!)
> Gruss leduart
Gruß Phoney
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Sa 14.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du die Zeichnung gemacht hast, und die parallele zur x Achse durch R also die Gerade y=-2 gezogen hast, trifft sie die Gerade x=z im Punkt T.
Dann hast du das Dreieck RTP und RT und TP stehen senkrecht .
Ebenso hast du das etwas größere Dreieck RTQ, auch rechtwinklig.
das Produkt der Katheten gibt jeweis den doppelten Flächeninhalt.
RQP, liegt also innerhalb RQT, hat RQ mit ihm gemeinsam, ausserhalb RPT, hat RP mit dem gemeinsam.
Es wär nett, wenn du mir erklärtest, warum das nicht aus dem ersten posting hervorging(+Zeichnung) ich will ja auch erklären lernen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Sa 14.01.2006 | | Autor: | Phoney |
Guten Abend.
> Wenn du die Zeichnung gemacht hast, und die parallele zur
> x Achse durch R also die Gerade y=-2 gezogen hast, trifft
> sie die Gerade x=z im Punkt T.
> Dann hast du das Dreieck RTP und RT und TP stehen
> senkrecht .
> Ebenso hast du das etwas größere Dreieck RTQ, auch
> rechtwinklig.
> das Produkt der Katheten gibt jeweis den doppelten
> Flächeninhalt.
Ich habe erst einmal alle Winkel mit Hilfe vom Betrag der Vektoren und den Winkelsätzen (sin, cos) berechnet. Und letzendlich dann h. Das mit den Katheten kannte ich gar nicht.
> RQP, liegt also innerhalb RQT, hat RQ mit ihm gemeinsam,
> ausserhalb RPT, hat RP mit dem gemeinsam.
> Es wär nett, wenn du mir erklärtest, warum das nicht aus
> dem ersten posting hervorging(+Zeichnung) ich will ja auch
> erklären lernen!
Danke für deine Antworten, die waren sehr gut. Auch schon die erste, die war eigentlich perfekt. Nur habe ich es persönlich in meiner Zeichnung vermaselt. Denn ich war mir nicht sicher, ob das "neue" Dreieck RQT sein sollte oder RPT (sodass man irgendwie die Seite RP berechnen kann). Das würde aber nichts bringen, aber als ich das gemacht habe, war ich schon so verwirrt, nach all meinem rechnen.
Ich habe mir beim Rechnen auch schon mit z=1 einen abgebrochen. Die Fehler lagen also nur bei mir. Also danke noch mal.
> Gruss leduart
Grüße Phoney
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:04 Sa 14.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Phoney
Das mit den Katheten kennst du sicher! die eine ist die "Grundseite" die andere die Höhe!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 So 15.01.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallöchen nochmals.
> Hallo Phoney
> Das mit den Katheten kennst du sicher! die eine ist die
> "Grundseite" die andere die Höhe!
Ich habe mal gerechnet, komme nun aber bei meiner allgemeinen Rechnung für das Dreieck RQT für z=1 auf einen Flächeninhalt von 2. Wenn ich nur mit den Punkten rechne, komme ich allerdings auf einen von [mm] \approx [/mm] 1. Bevor ich aber die Mühe mache, hier den Ansatz zu posten, könnte es daran liegen, dass ich eben nicht die von dir angesprochenen Katheten benutzt habe.
Bleiben wir mal bei einem allgemeinen rechtwinkligen Dreieck, dann benutze ich doch als Kathete nicht die Grundseite, sondern nur die beiden anderen "Katheten"
Also müsste ich doch die Höhe benutzen?
![[]](/images/popup.gif) Wikipedia
Hier meine ich, dass ich die Rechnung benutze
[mm] A_{rechtwinklig}= \bruch{a*b}{2}
[/mm]
Ist das jetzt falsch?
Grüße Phoney
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Hi, Phoney,
jedes rechtwinklige Dreieck hat GENAU ZWEI Katheten und eine Hypothenuse!
Die Hypothenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber,
die beiden Seiten, zwischen denen der rechte Winkel liegt, heißen Katheten!
Und nur für die Katheten (nennen wir sie a und b) gilt die Formel:
[mm] F_{Dreieck} [/mm] = [mm] \bruch{a*b}{2}
[/mm]
Und die Formel gilt nur deshalb, weil die Katheten aufeinander senkrecht stehen, d.h. dass man eine davon als "Grundseite", die andere als "Höhe" des Dreiecks auffassen kann. Jetzt klar?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 So 15.01.2006 | | Autor: | Phoney |
Guten Morgen.
Danke Zwerglein, die Begriffe sind jetzt geklärt! Trotzdem stimmt meine Rechnung nicht:
Das Dreieck mit den Punkten
Q(z||f(z))
R(0||-2)
T(z||-2)
f(x) = x-2+ $ [mm] \bruch{4}{(x+1)^2} [/mm] $
Dann ist [mm] A_{rechtwinklig}= \bruch{a*b}{2}
[/mm]
a= | [mm] \overrightarrow{RT} [/mm] | = | [mm] \vektor{z-0 \\ -2-(-2)} [/mm] |= | [mm] \vektor{z \\ 0)} [/mm] | =z
b= | [mm] \overrightarrow{QT}| [/mm] = | [mm] \vektor{z-z \\ -2-f(z)} [/mm] |= | [mm] \vektor{0 \\ -2-(z-2+ \bruch{4}{(z+1)^2}} [/mm] | =| [mm] \vektor{0 \\ -2-z+2- \bruch{4}{(z+1)^2}} [/mm] |= | [mm] \vektor{0 \\ -z- \bruch{4}{(z+1)^2}} [/mm] | = [mm] -z-\bruch{4}{(z+1)^2}
[/mm]
A= [mm] \bruch{z*(-z- \bruch{4}{(z+1)^2})}{2}
[/mm]
Für z=1 kommt A=2 heraus. Laut meienr Rechnung mit den Punkten mit z=1 kommt aber 1 heraus.
Oder haben meine zahlreichen Rechnungen mit den Punkten sich vertan? Bei Bedarf tippe ich die auch mal ab. Es geht mir jetzt nur darum, dass hier vermutlich ein Rechenfehler drin ist. Oder ich habe es immer noch nicht verstanden.
Dankeschön schon einmal für die zahlreiche und hartnäckige Hilfe!!
Gruß
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Hi, Phoney,
also: Ich hab' mir jetzt die Aufgabe mal im Ganzen angeschaut.
Zunächst vermute ich mal, dass z > 0 sein soll!
(oder gar z>-1? - dann wird's ein bissl komplizierter!)
Weiter: Es geht ja wohl um das Dreieck PQR.
Da dieses keineswegs rechtwinklig ist, kannst Du ganz "normal" mit der Formel arbeiten:
A = [mm] \bruch{1}{2}*g*h, [/mm] g "Grundlinie", h "Höhe".
Als Grundlinie nimmst Du [mm] \overline{PQ} [/mm] = [mm] y_{Q} [/mm] - [mm] y_{P} [/mm] = [mm] \bruch{4}{(z+1)^{2}},
[/mm]
als Höhe den Abstand zwischen R und der Senkrechten Gerade x=z:
das ist aber genau =z!
Daher ergibt sich:
A(z) = [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{4}{(z+1)^{2}}*z [/mm] = [mm] \bruch{2z}{(z+1)^{2}}
[/mm]
(auf der vorgegebenen Definitionsmenge)
Ach ja, und nun:
Ableiten, Ableitung =0 setzen, Randvergleich.
(Zur Kontrolle: Das abs. Max. liegt für z>0 bei z=1.)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 So 15.01.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo Zwerglein
> also: Ich hab' mir jetzt die Aufgabe mal im Ganzen
> angeschaut.
> Zunächst vermute ich mal, dass z > 0 sein soll!
> (oder gar z>-1? - dann wird's ein bissl komplizierter!)
Stimmt, die sollte z>0 sein. Das habe ich leider vergessen.
> Weiter: Es geht ja wohl um das Dreieck PQR.
> Da dieses keineswegs rechtwinklig ist, kannst Du ganz
> "normal" mit der Formel arbeiten:
>
> A = [mm]\bruch{1}{2}*g*h,[/mm] g "Grundlinie", h "Höhe".
>
> Als Grundlinie nimmst Du [mm]\overline{PQ}[/mm] = [mm]y_{Q}[/mm] - [mm]y_{P}[/mm] =
> [mm]\bruch{4}{(z+1)^{2}},[/mm]
>
> als Höhe den Abstand zwischen R und der Senkrechten Gerade
> x=z:
> das ist aber genau =z!
>
> Daher ergibt sich:
>
> A(z) = [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{4}{(z+1)^{2}}*z[/mm] =
> [mm]\bruch{2z}{(z+1)^{2}}[/mm]
> (auf der vorgegebenen Definitionsmenge)
Die Rechnung usw. kann ich alles nachvollziehen. Nur wieso nehme ich dann als Höhe den Abstand zwischen R und der Gerade x=z? Normalerweise hätte ich von der Strecke [mm] \overrightarrow{QR} [/mm] "eine senkrechte" Höhe zum Punkt P gezogen. Dann hätte ich auch übrigens [mm] \overrightarrow{QR} [/mm] als Grundseite gewählt.
Mein Verständnis für: "Was ist die Grundseite eines Dreiecks" ist dann ja wohl falsch.
Grüße Phoney
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Hi, Phoney,
> Die Rechnung usw. kann ich alles nachvollziehen. Nur wieso
> nehme ich dann als Höhe den Abstand zwischen R und der
> Gerade x=z? Normalerweise hätte ich von der Strecke
> [mm]\overrightarrow{QR}[/mm] "eine senkrechte" Höhe zum Punkt P
> gezogen. Dann hätte ich auch übrigens [mm]\overrightarrow{QR}[/mm]
> als Grundseite gewählt.
> Mein Verständnis für: "Was ist die Grundseite eines
> Dreiecks" ist dann ja wohl falsch.
Jedes Dreieck hat 3 Seiten.
Jede davon kann man als Grundseite nehmen;
die zugehörige Höhe steht auf dieser Seite (oder auf ihrer Verlängerung!) senkrecht.
Nun kommt es nur noch drauf an, "schlau" zu sein!
Und das heißt im Falle solcher Aufgaben wie der vorliegenden:
NIMM MÖGLICHST WAAGRECHTE UND SENKRECHTE LINIEN!
Die von Dir vorgeschlagene Grundlinie ist schräg, verlangt daher schonmal mindestens die Abstandsformel zweier Punkte zu ihrer Berechnung; noch schlimmer aber: Die Höhe ist ja kaum auszurechnen!
Das alles geht bei meinem Vorschlag wesentlich gemütlicher:
senkrechte Grundlinie, waagrechte Höhe!
Siehst Du die Vorteile ein?!
Ach ja, noch was:
Wie Du an der Zeichnung siehst trifft die Höhe eines Dreiecks die zugehörige Seite nicht immer innerhalb des Dreiecks. Das ist übrigens typisch für stumpfwinklige Dreiecke, so wie bei Deiner Aufgabe!
Noch Fragen?
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 So 15.01.2006 | | Autor: | Phoney |
Okay, jetzt habe ich es! Zwar den Aufgabentyp wohl noch nicht so richtig verstanden, da es mir an Übung mangelt. Aber diese Aufgabe habe ich erst einmal so abgeharkt und verstanden.
Vielen Dank für das zahlreiche Beantworten der Fragen
Grüße Phoney
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