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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Di 15.02.2011 | | Autor: | coucou |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Flächeninhalt der Ebene ABC.
A(O/0/4)
B(6/0/6)
C(0/4/2) |
Hallo!
Ich habe mir die Ebene in ein kartesisches Koordinatensystem gezeichnet und wollte jetzt den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen.
Dafür habe ich mir überlegt, dass die Höhe von A auf die Seite BC geht. Sie ist natürlich senkrecht zu dieser Seite, also könnte man mit dem Normalenvektor arbeiten. Wie aber stelle ich jetzt eine Gleichung auf? Ich habe ja nur den Punkt A und die Gerade BC?
Vielen Dank im Voraus für Tipps und Ansätze!
LG,
coucou
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Hallo,
> Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
>
> A(O/0/4), B(6/0/6), C(0/4/2)
> Dafür habe ich mir überlegt, dass die Höhe von A auf
> die Seite BC geht. Sie ist natürlich senkrecht zu dieser
> Seite, also könnte man mit dem Normalenvektor arbeiten.
> Wie aber stelle ich jetzt eine Gleichung auf? Ich habe ja
> nur den Punkt A und die Gerade BC?
Berechne den Abstand von A zur Gerade BC. Dazu gibt es z. B. die folgende ![[]](/images/popup.gif) Formel.
Dort ist auch erklärt, wie es ganz direkt geht.
Noch ein anderer Ansatz: Kennst du die Heronsformel zur Flächeninhaltsbestimmung von Dreiecken?
Seien a,b,c die Dreiecksseiten, [mm] s=\frac{a+b+c}{2} [/mm] der halbe Umfang. Dann gilt für den Flächeninhalt A:
[mm] A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
[/mm]
Die Dreiecksseitenlängen kannst du über den euklidischen Abstand bestimmen:
[mm] a=\overline{BC}=\|\vektor{0 \\ 0\\6}\cdot\vektor{0 \\ 4\\2}\|=\sqrt{12}.
[/mm]
Am Ende kannst du das alles Einsetzen, aber das Vereinfachen wird wohl eher schwierig.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 Di 15.02.2011 | | Autor: | abakus |
Hallo,
vermutlich kennst du die Flächenformel [mm] A=0.5*a*b*sin\gamma [/mm] ?
Die Seitenlängen von ABC lassen sich alle berechnen, und daraus erhältst du mit dem Kosinussatz einen der Innenwinkel (falls schon eingeführt, auch mit dem Skalarprodukt).
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Mi 16.02.2011 | | Autor: | weduwe |
da die höhe senkrecht auf die seite steht, könntest du den höhenfußpunkt der höhe auf c so berechnen:
[mm] (\vec{a}+\lambda\cdot(\vec{a}-\vec{b})-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=0
[/mm]
dann geht einfach [mm] A=\frac{1}{2}c\cdot h_c
[/mm]
eine alternative wäre das vektorprodukt
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