Flächeninhalt Kardioide < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | | Gegeben sei eine Kardioide durch einen Kreis K und einen Punkt A auf dem Kreis. Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt der Kardioide sechsmal so groß ist, wie der Flächeninhalt des Kreises K. |
Hallo zusammen,
bin total überfordert mit dieser Aufgabe.
Das einzige, was ich bisher über die Kardioide weiß, ist, wie man sie konstruieren kann und dass sie in Polarkoordinaten (in unserer Vorlesung) gegeben ist durch r= 2a [mm] (1+cos\theta)
[/mm]
wobei a der Radius des Kreises ist.
Kann ich die Aufgabe auch ohne Integrale lösen? Bisher waren diese in der Vorlesung (bei anderen Konstruktionen) nicht nötig
Viele Grüße,
Ferolei
|
|
| |
|
Hallo!
Ich wüßte jetzt nicht, wie man diese Fläche rein geometrisch berechnen könnte, du wirst um die Integrale kaum herum kommen.
Aber so schwer ist das mit dem Integrieren nicht: In karthesischen Koordinaten zerlegt man eine Fläche in Rechtecke, die man aufaddiert: [mm] A=\int_{x_1}^{x_2}\int_{y_1}^{y_2}1\,dx\,dy [/mm] .
Und wenn man weiß, daß y immer von 0 bis y=f(x) geht, wird daraus
[mm] A=\int_{x_1}^{x_2}\int_{0}^{f(x)}1\,dx\,dy=\int_{x_1}^{x_2}f(x)\,dx [/mm]
In Polarkoordinaten geht es ähnlich, allerdings ist hier zu beachten, daß da immer noch ein Faktor r mit rein kommt.
[mm] A=\int_{r_1}^{r_2}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\red{r}\,dr\,d\theta [/mm] .
Jetzt ist die Preisfrage: Von wo bis wo geht r (also das in den Grenzen!), und was ist mit dem Winkel?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Ferolei |
Hallo,
danke für die Antwort, aber ich muss gestehen, dass ich von dem ganzen noch nie im Leben (geschweige denn im Studium) was gehört habe.
Ich habe bereits auf anderen Internetseiten Lösungen mit Integralen gesehen und habe nur Bahnhof verstanden ...
da wird die Grenze immer von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] angegeben...warum weiß ich nicht.
Überall steht auch was von [mm] A=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{2\pi}{(r(\theta)^2) d_\theta}... [/mm] ich habe sowas in Polarkooridinaten noch nie gesehen... diese Darstellunsgweise in Polarkoordinaten habe ich auch vor einigen Tagen das erste mal gesehen. Vielleicht fällt es mir deshalb noch so schwer :(
Meinst du, du kannst mir da helfen?
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> danke für die Antwort, aber ich muss gestehen, dass ich
> von dem ganzen noch nie im Leben (geschweige denn im
> Studium) was gehört habe.
> Ich habe bereits auf anderen Internetseiten Lösungen mit
> Integralen gesehen und habe nur Bahnhof verstanden ...
>
> da wird die Grenze immer von 0 bis [mm]2\pi[/mm] angegeben...warum
> weiß ich nicht.
> Überall steht auch was von
> [mm]A=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{2\pi}{(r(\theta)^2) d_\theta}...[/mm]
> ich habe sowas in Polarkooridinaten noch nie gesehen...
> diese Darstellunsgweise in Polarkoordinaten habe ich auch
> vor einigen Tagen das erste mal gesehen. Vielleicht fällt
> es mir deshalb noch so schwer :(
>
> Meinst du, du kannst mir da helfen?
Hallo Ferolei,
das Beispiel mit der Kardioïde eignet sich ausgezeichnet,
um die Flächenberechnung in Polarkoordinaten einmal
auszuprobieren.
Ich hoffe, dass du dir die Mühe genommen hast, die
Kurve aufgrund ihrer Polardarstellung zu zeichnen.
Falls nicht: tu das bitte noch in deinem eigenen Interesse !
Um die Kurve einmal zu umlaufen, muss der Polarwinkel [mm] \theta
[/mm]
genau ein Intervall der Länge [mm] 2\,\pi [/mm] durchlaufen, also eben
zum Beispiel von 0 bis [mm] 2\,\pi [/mm] (in Grad: von 0° bis 360°) .
Wenn [mm] \theta [/mm] von 0 bis [mm] 2\,\pi [/mm] zunimmt, so überstreicht der
Zeigervektor [mm] \overrightarrow{OP} [/mm] die blattförmige von der Kurve umschlossene
Fläche genau einmal.
Der kleine Sektor, den dieser Vektor überstreicht, wenn
sich [mm] \theta [/mm] nur von einem [mm] \theta_0 [/mm] zu einem [mm] \theta_1=\theta_0+\Delta_{\theta} [/mm] verändert,
entspricht fast exakt dem Kreissektor, dessen Radius gleich
[mm] r(\theta_0) [/mm] und dessen Zentriwinkel gleich [mm] \Delta_{\theta}
[/mm]
ist. Den Flächeninhalt dieses Kreissektors kann man leicht
hinschreiben.
Falls die Randkurve (wie im vorliegenden Beispiel) differen-
zierbar ist, lässt sich die Summation vieler solcher Sektor-
flächen mit anschließender Grenzwertbildung (für Anzahl
der Sektoren gegen unendlich) durch ein Integral ersetzen.
Das ist genau jenes, das du schon angegeben hast:
$\ A\ =\ [mm] \integral_{0}^{2\,\pi} \frac{1}{2}\,(r(\theta))^2\ d\theta$
[/mm]
Im vorliegenden Beispiel könnte man noch die Symmetrie
ausnützen, nur von 0 bis [mm] \pi [/mm] integrieren und das Ergebnis
verdoppeln.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Hallo!
Hmm, sag mal, was ist das für eine Vorlesung, die du da besuchst? Hat die direkt was mit dem Studium zu tun, oder ist das irgendein selbstgewähltes Nebenfach o.ä.?
Ich kann mir nämlich nur schwer vorstellen, daß man euch einfach so ins kalte Wasser wirft, was die Integration in nicht karthesischen Koordinaten angeht. Oder, es wird als bekannt vorausgesetzt.
Zumindest in Mathe wird normalerweise durchgekaut, wie man von den Basisvektoren über die Jacobi-Matrix auf ne Determinante kommt, die einem dann in diesem fall dieses zusätzliche "r" einbringt. In Fächern, in denen Mathe eher handwerklich eingesetzt wird, wird oft nur kurz gesagt, daß da eben ein r rein kommt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 So 13.06.2010 | | Autor: | Ferolei |
Ich verstehe von deinen Begriffen nicht sehr viel :(
Ich studiere Mathematik auf Lehramt (Grundschule wohl bemerkt) und die Vorlesung nennt sich 'Klassische Kurven'. Hatte zwar im Grundstudium eine Analysis Vorlesung, aber da habe ich nie das Integral bzgl. Polarkoordinaten gesehen.
Ich habe es jetzt mal versucht, aber komme hier an einer Stelle nicht mehr weiter. Vielleicht könnt ihr mir nochmal helfen?
Also :
A = [mm] \bruch{1}{2} \integral_{0}^{2\pi}{r^2 d\theta}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} \integral_{0}^{2\pi}{(2a(cos \theta +1))^2 d\theta}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} \integral_{0}^{2\pi}{4a^2(cos \theta +1)^2 d\theta}
[/mm]
= [mm] 2a^2 \integral_{0}^{2\pi}{(cos \theta +1)^2 d\theta}
[/mm]
= [mm] 2a^2 \integral_{0}^{2\pi}{(cos \theta +1)*(cos \theta +1) d\theta}
[/mm]
= ...
Jetzt bin ich grade etwas überfordert. Ich weiß nicht mehr genau, welche Regeln hier alle beachtet werden müssen.
Wäre super, wenn mir das jemand noch mal schnell erklären könnte.
Viele Grüße, Ferolei
|
|
|
| |
|
Hallo!
Nanu, das klingt merkwürdig. Differenzieren und Integrieren sind doch so die großen Aufhänger der Analysis...
Zu deinem Problem: Das sieht gut aus. Wende doch mal die I. binomische Formel an, dann bleibt als Schwierigkeit noch das Integrieren von einem [mm] \cos^2 [/mm] . Das kannst du entweder in ner Tabelle von Integralen nachschlagen, oder du formst das auch mal um, zum beispiel ![[]](/images/popup.gif) hiermit, dann mußt du wieder nur einen [mm] \cos [/mm] integrieren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 So 13.06.2010 | | Autor: | Ferolei |
Hmm... also irgendwie tue ich mich schwer damit... ich weiß, dass es beim Differnezieren die Produktregel gibt, aber wie ich das umgekehrt bei Integrieren mache, weiß ich nicht mehr. Weiß auch nicht genau wie ihc das aufschreiben muss, weil ich nur den hinteren teil integrieren möchte und nicht die [mm] 2a^2.
[/mm]
also habe jetzt: [mm] 2a^2 \integral_{0}^{2\pi}{(cos^2\theta+2cos\theta+1) d\theta}= 2a^2 \integral_{0}^{2\pi}{(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}*cos(2\theta)+2cos\theta+1) d\theta}=2a^2 [/mm] [ [mm] \bruch{1}{2}\theta+...+\theta] [/mm]
wie mache ich denn hier den Integrationsbalken?
Ich weiß auch nicht so recht, ob man das so hinschreiben darf...also ich möchte ja nur den hinteren teil integrieren, und die [mm] 2a^2 [/mm] nicht...
|
|
|
| |
|
Hallo!
Die Produktregel ist schon ein wenig aufwändiger, daher ja auch mein Ratschlag, den [mm] \cos^2 [/mm] -Term mit Hilfe der Additionstheoreme klein zu kriegen, was du ja auch geschafft hast.
Vor dem INtegrieren kannst du das 1/2 noch mit dem +1 am Ende zusammenfassen.
Jetzt müßtest du noch wissen, was die Stammfunktion von [mm] \cos\theta [/mm] ist. Und von [mm] \cos2\theta
[/mm]
Hierzu ne Hilfestellung: Beim ABLEITEN gilt "innere mal äußere". Was ist die Ableitung von [mm] \cos2\theta [/mm] ? Da steht plötzlich ne Zahl vor der trigonometrischen Funktion. Wie groß müßte ein Faktor A in [mm] A\cos2\theta [/mm] sein, damit dieser Vorfaktor verschwindet?
|
|
|
|
