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Forum "Integration" - Flächeninhalt berechnen
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Flächeninhalt berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:18 Sa 18.04.2015
Autor: RubNoob

Aufgabe
Wie groß ist die Fläche, welche die Normalparabel [mm] f(x)=x^2, [/mm] deren Tangente im Punkt P(2/4) und die X-Achse einschließen?

[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Flächeninhalt berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 Sa 18.04.2015
Autor: MathePower

Hallo RubNoob,

[willkommenmr]

> Wie groß ist die Fläche, welche die Normalparabel
> [mm]f(x)=x^2,[/mm] deren Tangente im Punkt P(2/4) und die X-Achse
> einschließen?


Die Integrationsgrenzen für die Normalparabel sind falsch.
Laut Skizze sind diese 0 (Schnittpunkt Normalparabel - x-Achse)
und 2 (Schnittpunkt Normalparabel und Tangente in (2|4) )

Benötigt wird lediglich noch der  Schnittpunkt
von dieser Tangente und der x-Achse.


>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt


Gruss
MathePower

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Flächeninhalt berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:07 Sa 18.04.2015
Autor: RubNoob

Um den Schnittpunkt der Tangente mit der X-Achse zu ermitteln, muss ich doch von [mm] f(x)=x^2 [/mm] die erste Ableitung machen, oder?
Das wäre dann: f'(x)= 2x
Das muss ich dann mit [mm] f(x)=x^2 [/mm] gleichsetzen oder?
Also: [mm] x^2=2x [/mm]

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Flächeninhalt berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:12 Sa 18.04.2015
Autor: Thomas_Aut


> Um den Schnittpunkt der Tangente mit der X-Achse zu
> ermitteln, muss ich doch von [mm]f(x)=x^2[/mm] die erste Ableitung
> machen, oder?
>  Das wäre dann: f'(x)= 2x
> Das muss ich dann mit [mm]f(x)=x^2[/mm] gleichsetzen oder?
>  Also: [mm]x^2=2x[/mm]  

Nein das ist absolut falsch - was hat denn die Parabel [mm] f(x)=x^2 [/mm] mit dem Schnittpunkt der Tangente in einem Punkt und der x-Achse zu tun?

Ermittle die Gleichung der Tangente im Punkt P und schneide diese dann mit der x-Achse.


Lg Thomas


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Flächeninhalt berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:37 Sa 18.04.2015
Autor: RubNoob

Tut mir leid, aber leider weiß ich jetzt gar nicht was ich genau machen soll, bzw. wie die genaue Schrittweise ist, die ich jetzt anwenden muss =(

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Flächeninhalt berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Sa 18.04.2015
Autor: Thomas_Aut

Bestimme die Gleichung der Tangente in P.

Geradengleichung : y=kx+d

bestimme mittels der ersten Ableitung f'(x)=2x den Anstieg - setze dann P ein und ermittle d.

Jetzt du

Gruß Thomas

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Flächeninhalt berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 Sa 18.04.2015
Autor: RubNoob

Okay, mein Lösungsansatz wäre folgender:

[mm] f(x)=x^2 [/mm]   -> erste Ableitung f'(x)= 2x     mein X-Wert ist 2, also: f'(2)= 2*2=4
Also ist meine Steigung an der Tangente 4.

y=kx+d
4=4*x+d
4=4*2+d
4=8+d  /-8
d=-4
???
D kann doch nicht "-4" sein, oder?

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Flächeninhalt berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:59 Sa 18.04.2015
Autor: Thomas_Aut


> Okay, mein Lösungsansatz wäre folgender:
>  
> [mm]f(x)=x^2[/mm]   -> erste Ableitung f'(x)= 2x     mein X-Wert ist
> 2, also: f'(2)= 2*2=4
>  Also ist meine Steigung an der Tangente 4.
>  
> y=kx+d
>  4=4*x+d
>  4=4*2+d
>  4=8+d  /-8
>  d=-4
> ???
>  D kann doch nicht "-4" sein, oder?

Wieso denn nicht? ist doch völlig in Ordnung.

also y=4x-4 damit also y=0 [mm] \gdw [/mm] x=1.

x=1 ist der Schnittpunkt mit der x-Achse.

So damit hast du also die wichtige Integrationsgrenze herausgefunden.


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Flächeninhalt berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 Sa 18.04.2015
Autor: RubNoob

Sind die Integrationsgrenzen also jetzt 0 und 1?


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Flächeninhalt berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 Sa 18.04.2015
Autor: Thomas_Aut

Lies die Antwort von MathePower.

einmal integrierst du über das Intervall [1,2] , einmal integrierst über das Intervall [0,2]

Edit: Pardon , oben stand vorher ein falsches Intervall - habe mich verschrieben.

Welche Funktion wird wo integriert ?

Was verbleibt dann schließlich noch zu tun?


Thomas

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Flächeninhalt berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:46 Sa 18.04.2015
Autor: RubNoob

Integriere ich im Intervall [0,1] erhalte ich: 1/3
Integriere ich im Intervall [0,2] erhalte ich: 8/3

Ich nehme an, da ich jetzt die Fläche von zwei "Bereichen" errechnet habe, muss ich nun beide voneinander abziehen? Also: 8/3 - 1/1 = 7/3
D.h. die Fläche ist 7/3 groß?

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Flächeninhalt berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:54 Sa 18.04.2015
Autor: Thomas_Aut

siehe die vorige Antwort - ich habe mich vertippt.

integriere die Tangente über [1,2]

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Flächeninhalt berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:57 Sa 18.04.2015
Autor: Thomas_Aut


Die gesuchte Fläche ist :

[mm] $\int_{0}^{2}x^2 [/mm] dx - [mm] \int_{1}^{2}4x-4dx$ [/mm]

Lg

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Flächeninhalt berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Sa 18.04.2015
Autor: RubNoob

Ich habe eine Fläche von -11/3 raus, das kann aber doch nicht richtig sein, oder?

[mm] \integral_{0}^{2}{f(x) x^2dx} [/mm] - [mm] \integral_{1}^{2}{f(x)4x-4 dx} [/mm]

1/3 - 12/3
=11/3

zu dem Integral von: [mm] \integral_{1}^{2}{f(x)4x-4 dx} [/mm]
Das ist doch: 4 - (4-4) = 4 - 0 = 4
und darum dann 12/3, weil ich da die 4/1 auf einen gemeinsamen Nenner, also 3, bringen muss.

Stimmt das Ergebniss? =D

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Flächeninhalt berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Sa 18.04.2015
Autor: Thomas_Aut


> Ich habe eine Fläche von -11/3 raus, das kann aber doch
> nicht richtig sein, oder?
>  
> [mm]\integral_{0}^{2}{f(x) x^2dx}[/mm] - [mm]\integral_{1}^{2}{f(x)4x-4 dx}[/mm]
>  
> 1/3 - 12/3
>  =11/3
>  
> zu dem Integral von: [mm]\integral_{1}^{2}{f(x)4x-4 dx}[/mm]
>  Das
> ist doch: 4 - (4-4) = 4 - 0 = 4
> und darum dann 12/3, weil ich da die 4/1 auf einen
> gemeinsamen Nenner, also 3, bringen muss.
>  
> Stimmt das Ergebniss? =D

Hmm nein ... wie du auf diese Erg. kommst ist mir wirklich ein Rätsel.

Es ist doch [mm]\integral_{1}^{2}{4x-4 dx}[/mm] = $ [mm] \frac{4x^2}{2}-4x \Bigl|_{1}^{2} [/mm] =0-(2-4)=2$

und

[mm]\integral_{0}^{2}{ x^2dx} = \frac{x^3}{3}\Bigl|_{0}^{2} = \frac{8}{3} [/mm]

damit


[mm] \frac{8}{3}-2 [/mm] = [mm] \frac{2}{3} [/mm]


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Flächeninhalt berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:27 Sa 18.04.2015
Autor: RubNoob

Na klar! Ich bin aber auch dumm! Ich muss ja die Aufleitung bestimmen und dann einsetzen und ausrechnen! Mein Fehler!
Ich danke dir vielmals, Thomas! Danke =)

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Flächeninhalt berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:48 Sa 02.05.2015
Autor: Thomas_Aut


> Na klar! Ich bin aber auch dumm! Ich muss ja die Aufleitung
> bestimmen und dann einsetzen und ausrechnen! Mein Fehler!
> Ich danke dir vielmals, Thomas! Danke =)

Aufleitung ist der falsche Ausdruck (dazu gibt es aber eh viele Beiträge hier im Forum - lies dir doch mal einige Antworten durch)


LG


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