Flächeninhalt in 3 Punkten < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 So 20.05.2007 | | Autor: | Lerche |
| Aufgabe | Durch [mm] f_{a}(x)=-\bruch{1}{2a^2}x^4+\bruch{1}{a}x^3 [/mm]
- [mm] a\in\IR [/mm] (im positiven Bereich) -
ist eine Funktionenschar gegeben. Die zugehörigen Schaubilder heißen [mm] k_{a}.
[/mm]
Die Normale von [mm] k_{a} [/mm] im vom Ursprung verschiedenen Wendepunkt schneidet die x-Achse im Punkt P. Berechnen Sie den Flächeninhalt A des Dreiecks OPW.
Für welches a beträgt der Flächeninhalt A=13?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Frage ist: Was ist eine Normale. Konnte nicht wirklich schlau werden aus Suchergebnissen von Google. Kann mir jemand weiterhelfen bzw. evt sogar einen Lösungsansatz geben?
Gruß Lerche
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 So 20.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lerche!
Eine Normale ist eine Gerade, die senkrecht auf eine andere Gerade oder eine Funktion steht.
In unserem Falle steht die Normale senkrecht auf die Tangente im gesuchten Wendepunkt.
Um die Steigung [mm] $m_n$ [/mm] der Normalen zu berechnen, verwendet man folgende Beziehung. Dabei ist [mm] $m_t$ [/mm] die Steigung der Tangente im betrachteten Punkt:
[mm] $m_n*m_t [/mm] \ = \ -1$ [mm] $\gdw$ $m_n [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{m_t}$
[/mm]
Also zunächst den (vom Ursprung unterschiedlichen) Wendepunkt $W \ [mm] \left( \ x_W \ | \ y_W \ \right)$ [/mm] bestimmen und die entsprechende Steigung [mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] f_a'(x_W)$ [/mm] .
Daraus dann die Gleichung der Normale mittels Punkt-Steigungs-Form ermitteln:
[mm] $m_n [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{m_t} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-y_W}{x-x_W}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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