Flächeninhalt in R^2 < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Drücken Sie den Flächeninhalt der in Polarkoorinaten im [mm] R^2 [/mm] angegebenen als ein mehrfache Integral au und berehnen Sie dieses:
a) r [mm] \le [/mm] a + [mm] b*cos\alpha
[/mm]
b) r [mm] \le a*cos2*\alpha [/mm] |
Mein Prolem bei dieser Aufgabe ist, dass ich nicht weiß was ich mit den gegebenen Gleichungen machen muss, bzw was ich mir unter dieser Fläche vorzustellen habe.
Kann mir jmd. helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo db_hellspawn,
> Drücken Sie den Flächeninhalt der in Polarkoorinaten im [mm]R^2[/mm]
> angegebenen als ein mehrfache Integral au und berehnen Sie
> dieses:
>
> a) r [mm]\le[/mm] a + [mm]b*cos\alpha[/mm]
> b) r [mm]\le a*cos2*\alpha[/mm]
> Mein Prolem bei dieser Aufgabe
> ist, dass ich nicht weiß was ich mit den gegebenen
> Gleichungen machen muss, bzw was ich mir unter dieser
> Fläche vorzustellen habe.
>
> Kann mir jmd. helfen?
Zunächst ist das Integral
[mm]\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{ \ dx} \ dy}[/mm]
in ![[]](/images/popup.gif) Polarkoordinaten anzugeben.
Die unter a) angegebene Grenze für den Radius ist die Grenze
für den Radius des entsprechend transformierten Integrals.
Bei b) ist das genauso.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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Ersteinmal ein Danke für die Antwort.
> Zunächst ist das Integral
>
> [mm]\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{ \ dx} \ dy}[/mm]
>
> in Polarkoordinaten anzugeben.
>
Dazu habe ich folgendes:
[mm] \delta: \IR^2 \backslash \{(a,0) | a \le 0\} \to (0,\infty) [/mm] x [mm] (-\pi,\pi)
[/mm]
[mm] r(a,b)=(a²+b²)^{1/2}, \delta [/mm] (a,b)= arctan [mm] \bruch{b}{a}
[/mm]
Die Menge, die der negativen x-Achse entspricht wurde herausgenommen, damit man die etlichen Fallunterscheidungen bzgl. des arctan nicht machen muss. Da es eine Lebesgue-Nullmenge ist, dürfte sich das Integral nicht verändern.
[mm] \delta^{-1}: [/mm] a=rcos [mm] \alpha, b=rsin\alpha
[/mm]
Damit ergibt sich dann:
[mm] \integral_{\IR²}{ f(a,b) da db} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{\integral_{-\pi}^{\pi}{f(rcos\alpha, rsin\alpha)r d\alpha} dr}, [/mm] da die Determinante der Jacobi-Matrix r ist.
> Die unter a) angegebene Grenze für den Radius ist die
> Grenze
> für den Radius des entsprechend transformierten Integrals.
Das heißt statt [mm] \infty [/mm] als Grenze des Integrals über r muss ich hier [mm] a+bcos\alpha [/mm] wählen? r hängt doch aber von a und b dirket ab.
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Hallo db_hellspawn,
> Ersteinmal ein Danke für die Antwort.
>
> > Zunächst ist das Integral
> >
> > [mm]\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{ \ dx} \ dy}[/mm]
> >
> > in Polarkoordinaten anzugeben.
> >
>
> Dazu habe ich folgendes:
>
> [mm]\delta: \IR^2 \backslash \{(a,0) | a \le 0\} \to (0,\infty)[/mm]
> x [mm](-\pi,\pi)[/mm]
> [mm]r(a,b)=(a²+b²)^{1/2}, \delta[/mm] (a,b)= arctan [mm]\bruch{b}{a}[/mm]
>
> Die Menge, die der negativen x-Achse entspricht wurde
> herausgenommen, damit man die etlichen Fallunterscheidungen
> bzgl. des arctan nicht machen muss. Da es eine
> Lebesgue-Nullmenge ist, dürfte sich das Integral nicht
> verändern.
>
> [mm]\delta^{-1}:[/mm] a=rcos [mm]\alpha, b=rsin\alpha[/mm]
>
> Damit ergibt sich dann:
> [mm]\integral_{\IR²}{ f(a,b) da db}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\integral_{-\pi}^{\pi}{f(rcos\alpha, rsin\alpha)r d\alpha} dr},[/mm]
> da die Determinante der Jacobi-Matrix r ist.
>
> > Die unter a) angegebene Grenze für den Radius ist die
> > Grenze
> > für den Radius des entsprechend transformierten Integrals.
>
> Das heißt statt [mm]\infty[/mm] als Grenze des Integrals über r muss
> ich hier [mm]a+bcos\alpha[/mm] wählen? r hängt doch aber von a und b
> dirket ab.
Dann mußt Du wohl erst die Grenzen für [mm]\alpha[/mm] ausrechnen:
[mm]r \le a+b*\cos\left(\alpha\right) \gdw r\le r*\cos\left(\alpha\right)+r*\sin\left(\alpha\right)*\cos\left(\alpha\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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> Dann mußt Du wohl erst die Grenzen für [mm]\alpha[/mm] ausrechnen:
>
> [mm]r \le a+b*\cos\left(\alpha\right) \gdw r\le r*\cos\left(\alpha\right)+r*\sin\left(\alpha\right)*\cos\left(\alpha\right)[/mm]
>
[mm] r\le r*\cos\left(\alpha\right)+r*\sin\left(\alpha\right)*\cos\left(\alpha\right) \gdw [/mm] 1 [mm] \le \cos\left(\alpha\right)*(1+\sin\left(\alpha\right)), [/mm] da r > 0
Da [mm] \cos \le [/mm] 1, muss also [mm] 1+\sin \ge [/mm] 1 sein, also [mm] 0\le \alpha \le \pi [/mm] und da 1+sin [mm] \ge [/mm] 0 muss cos > 0 sein, also 0 [mm] \le \alpha [/mm] < [mm] \pi/2.
[/mm]
Die Funktion [mm] \cos\left(\alpha\right)*(1+\sin\left(\alpha\right)) [/mm] - 1 hat im Intervall [mm] [0,\pi/2) [/mm] keine Nullstellen, also ist dies das gesamte Intervall.
Für die Integrationsgrenzen von r habe ich:
r = [mm] (a²+b²)^{1/2} \le [/mm] a+b*z, wobei z [mm] \in [/mm] (0,1] (die Werte des [mm] \cos [/mm] im Intervall [mm] [0,\pi/2) [/mm] )
[mm] \gdw [/mm] a²+b² [mm] \le [/mm] a²+b²z² +2a*b*z (z² [mm] \in [/mm] (0,1])
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le [/mm] b*(b*(z²-1)+2*a*z)
[mm] \gdw b*(z-\bruch{1}{z}) [/mm] + 2*a, da b>0
[mm] \gdw b*(\bruch{1}{z} [/mm] - z) [mm] \le [/mm] 2*a
Da a beliebig groß gewählt werden kann, kann auch b beliebig groß gewählt werden [mm] (\bruch{1}{z} [/mm] - z ist ein Ausdruck größer als 0). Also habe ich folgendes Integral:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{r*\integral_{0}^{\pi/2}{\cos\left(\alpha\right)+(1+\sin\left(\alpha\right)) d\alpha}dr} [/mm] = [mm] 1/2*\integral_{0}^{\infty} {r*[1+\sin²\left(\alpha\right)]_{0}^{\pi/2} dr} [/mm] = [mm] \bruch{5}{4} [r²]_{0}^{\infty}= \infty
[/mm]
Stimmt das so?
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Hallo db_hellspawn,
> > Dann mußt Du wohl erst die Grenzen für [mm]\alpha[/mm] ausrechnen:
> >
> > [mm]r \le a+b*\cos\left(\alpha\right) \gdw r\le r*\cos\left(\alpha\right)+r*\sin\left(\alpha\right)*\cos\left(\alpha\right)[/mm]
>
> >
>
>
> [mm]r\le r*\cos\left(\alpha\right)+r*\sin\left(\alpha\right)*\cos\left(\alpha\right) \gdw[/mm]
> 1 [mm]\le \cos\left(\alpha\right)*(1+\sin\left(\alpha\right)),[/mm]
> da r > 0
>
> Da [mm]\cos \le[/mm] 1, muss also [mm]1+\sin \ge[/mm] 1 sein, also [mm]0\le \alpha \le \pi[/mm]
> und da 1+sin [mm]\ge[/mm] 0 muss cos > 0 sein, also 0 [mm]\le \alpha[/mm] <
> [mm]\pi/2.[/mm]
>
> Die Funktion
> [mm]\cos\left(\alpha\right)*(1+\sin\left(\alpha\right))[/mm] - 1 hat
> im Intervall [mm][0,\pi/2)[/mm] keine Nullstellen, also ist dies das
> gesamte Intervall.
>
> Für die Integrationsgrenzen von r habe ich:
>
> r = [mm](a²+b²)^{1/2} \le[/mm] a+b*z, wobei z [mm]\in[/mm] (0,1] (die Werte
> des [mm]\cos[/mm] im Intervall [mm][0,\pi/2)[/mm] )
> [mm]\gdw[/mm] a²+b² [mm]\le[/mm] a²+b²z² +2a*b*z (z² [mm]\in[/mm] (0,1])
> [mm]\gdw[/mm] 0 [mm]\le[/mm] b*(b*(z²-1)+2*a*z)
> [mm]\gdw b*(z-\bruch{1}{z})[/mm] + 2*a, da b>0
> [mm]\gdw b*(\bruch{1}{z}[/mm] - z) [mm]\le[/mm] 2*a
>
> Da a beliebig groß gewählt werden kann, kann auch b
> beliebig groß gewählt werden [mm](\bruch{1}{z}[/mm] - z ist ein
> Ausdruck größer als 0). Also habe ich folgendes Integral:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{r*\integral_{0}^{\pi/2}{\cos\left(\alpha\right)+(1+\sin\left(\alpha\right)) d\alpha}dr}[/mm]
> = [mm]1/2*\integral_{0}^{\infty} {r*[1+\sin²\left(\alpha\right)]_{0}^{\pi/2} dr}[/mm]
> = [mm]\bruch{5}{4} [r²]_{0}^{\infty}= \infty[/mm]
>
> Stimmt das so?
>
Nun, wenn a und b von [mm]r,, \ \alpha[/mm] abhängig sind, dann stimmt das wohl.
Ähnlich wird Teil b) auch laufen.
Ich bin immer noch dafür, daß das Integral
[mm]\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{a+b\cos\left(\alpha\right)}{r \ dr} \ d\alpha}[/mm]
zu berechnen ist.
Dann haben die Werte der Integrale auch einen endlichen Wert.
Gruß
MathePower
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Das Integral macht wohl mehr Sinn, ist denn aber die Integrationsgrenze [mm] 2\pi [/mm] korrekt?
Danke für deine Mühe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Di 06.01.2009 | | Autor: | MathePower |
Hallo db_hellspawn,
> Das Integral macht wohl mehr Sinn, ist denn aber die
> Integrationsgrenze [mm]2\pi[/mm] korrekt?
Ja, worauf Du jetzt achten mußt ist, daß stets
[mm]a+b\cos\left(\alpha\right) \ge 0[/mm]
Dies ist sicher gewährleistet, wenn [mm]a \ge b, \ a,b>0[/mm].
>
> Danke für deine Mühe.
Gruß
MathePower
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