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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:28 Fr 03.06.2011 | | Autor: | kaschina |
| Aufgabe | | Skizzieren Sie jeweils die Menge [mm]B \subseteq \IR^2[/mm] bzw [mm] C \subseteq \IR^3[/mm] und berechnen Sie deren Flächeninhalt bzw deren Volumen. (Hinweis: Prinzip von Cavalieri). |
[mm]B = \{(x,y) \in \IR^2: \bruch{1}{4}x^2- 1 \le y \le 2 - x \}[/mm]
Was ich bisher weiß:
Ich muss eine eindimensionale Menge bilden, mit der ich durch die beiden entstandenen Funktionen - bzw hier eigentlich schon offensichtlich - die Integralsgrenzen bilde.
Für y also:
[mm]\integral_{\bruch{1}{4}x^2 -1}^{2 - x}[/mm]
Muss ich dann für das zweite Integral die beiden Grenzen nach x auflösen?
Und vor Allem:
Woraus besteht meine Integralsfunktion?
Ich habe zwar theoretisch ähnliche Aufgaben im Skript gefunden, wie man von den gegebenen Funktionen auf Grenzwerte kommt, ist im Prinzip auch klar, aber das Integral selber ist mir ein Rätsel...
Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar!
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> Skizzieren Sie jeweils die Menge [mm]B \subseteq \IR^2[/mm] bzw [mm]C \subseteq \IR^3[/mm]
> und berechnen Sie deren Flächeninhalt bzw deren Volumen.
> (Hinweis: Prinzip von Cavalieri).
> [mm]B = \{(x,y) \in \IR^2: \bruch{1}{4}x^2- 1 \le y \le 2 - x \}[/mm]
>
> Was ich bisher weiß:
> Ich muss eine eindimensionale Menge bilden, mit der ich
> durch die beiden entstandenen Funktionen - bzw hier
> eigentlich schon offensichtlich - die Integralsgrenzen
> bilde.
> Für y also:
> [mm]\integral_{\bruch{1}{4}x^2 -1}^{2 - x}[/mm]
> Muss ich dann für
> das zweite Integral die beiden Grenzen nach x auflösen?
> Und vor Allem:
> Woraus besteht meine Integralsfunktion?
> Ich habe zwar theoretisch ähnliche Aufgaben im Skript
> gefunden, wie man von den gegebenen Funktionen auf
> Grenzwerte kommt, ist im Prinzip auch klar, aber das
> Integral selber ist mir ein Rätsel...
>
> Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar!
Hallo kaschina,
ich denke, dass das "ganz normal" gemacht werden
kann:
[mm] \integral_{x_{links}}^{x_{rechts}}\left[(2-x)-\left(\bruch{1}{4}x^2- 1\right)\right]\,dx
[/mm]
Man kann das durchaus als Anwendung des Prinzips
von Cavalieri sehen ! Aus dem ursprünglichen Segment
zwischen einer oberen geradlinigen und einer unteren
parabelförmigen Begrenzung macht man dabei ein
neues, flächengleiches Segment zwischen einem oben
liegenden Parabelbogen und der x-Achse.
LG Al-Chw.
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Prinzip von Cavalieri