Flächeninhalt nie 0,8? < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:54 Di 14.11.2006 | | Autor: | Kristien |
Hi, ich habe hier folgende Aufgabe: a)Gegeben ist die Funktion f(x)= [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] . Der Graph von f , die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung x=1 bzw. x=z(z>=1) begrenzen eine Fläche. Bestimmen Sie z so, dass der inhalt der Fläche 0,8 ist. Das habe ich nun ausgerechnet und es kommt: 5 heraus.
b) Begründen sie, dass teilaufgabe a) für die Funktion g mit [mm] g(x)=\bruch{1}{x^3} [/mm] nicht lösbar ist.
Die Lösung : [mm] z^2=-\bruch{5}{3}
[/mm]
Diese gleichung hat keine Lösung; d.h. die vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossene Fläche ist für x>=1 immer kleiner als 0,5.
Meine frage: Wieso ist die Fläche immer kleiner als 0,5 und wieso wird die Fläche unter dem graphen nie 0,8? Der Graph schneidet die x-Achse doch nie, nähert sich dieser doch nur!!! Irgendwann muss es doc 0,8 werden ! Dankeschö.
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Hallo Kristien,
> Hi, ich habe hier folgende Aufgabe: a)Gegeben ist die
> Funktion f(x)= [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] . Der Graph von f , die
> x-Achse und die Gerade mit der Gleichung x=1 bzw. x=z(z>=1)
> begrenzen eine Fläche. Bestimmen Sie z so, dass der inhalt
> der Fläche 0,8 ist. Das habe ich nun ausgerechnet und es
> kommt: 5 heraus.
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") meine Glaskugel habe ich gerade nicht zur Hand, daher kann ich nicht Gedankenlesen.
Vielleicht zeigst du uns deinen Rechenweg, damit wir ihn überprüfen können.
> b) Begründen sie, dass teilaufgabe a) für die Funktion g
> mit [mm]g(x)=\bruch{1}{x^3}[/mm] nicht lösbar ist.
> Die Lösung : [mm]z^2=-\bruch{5}{3}[/mm]
> Diese gleichung hat keine Lösung; d.h. die vom Graphen von
> f und der x-Achse eingeschlossene Fläche ist für x>=1 immer
> kleiner als 0,5.
> Meine frage: Wieso ist die Fläche immer kleiner als 0,5 und
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
> wieso wird die Fläche unter dem graphen nie 0,8? Der Graph
> schneidet die x-Achse doch nie, nähert sich dieser doch
> nur!!! Irgendwann muss es doc 0,8 werden ! Dankeschö.
Gruß informix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:22 Di 14.11.2006 | | Autor: | Kristien |
Hi
Ich habe den Rechenweg nicht aufgeschrieben, da meine Frage eben hauptsächlich war, wieso ganz egal wie groß z ist, die Fläche zwischen 1 und z >=1 nie 0,8, sondern nur kleiner als 0,5 sein kann! Da [mm] \bruch{1}{x^3} [/mm] ja nie die x-Achse schneidet und sich dieser nur nähert!!! Wieso kann der Flächeninhalt nicht irgendwann = 0,8 werden ??? Dankeschö.
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Hallo Kristien,
denken allein hilft nicht: rechne!
> Hi
> Ich habe den Rechenweg nicht aufgeschrieben, da meine
> Frage eben hauptsächlich war, wieso ganz egal wie groß z
> ist, die Fläche zwischen 1 und z >=1 nie 0,8, sondern nur
> kleiner als 0,5 sein kann! Da [mm]\bruch{1}{x^3}[/mm] ja nie die
> x-Achse schneidet und sich dieser nur nähert!!! Wieso kann
> der Flächeninhalt nicht irgendwann = 0,8 werden ???
> Dankeschö.
Genau diese Frage kannst du nur durch eine Rechnung beantworten.
Es ist ja genau das Überraschende, dass eine anscheinend unendlich Fläche doch einen endlichen Wert annehmenn kann.
Gruß informix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Di 14.11.2006 | | Autor: | Kristien |
Die Rechnung zu b) wäre ja folgende: integral von 1 bis [mm] z(\bruch{1}{x^3} [/mm]
[mm] [-\bruch{1}{2}x^-2]= [/mm] 0,8
[mm] -\bruch{1}{2}z^-2=0,3
[/mm]
[mm] \bruch{1}{z^2}=-0,6
[/mm]
[mm] z^2=-1,6666......
[/mm]
Daher hat die Gleichung ja keine Lösung! Nun wurde dazu noch gesagt, dass die Fläche für x>=1 immer kleiner als 0,5 ist. Doch wie kommt man auf diese 0,5 und wieso kann die Fläche nie 0,8 erreichen? Mit der Rechnung finde ich ja nur heraus, dass sies nicht kann. Aber weshalb, das weiß ich damit ja immernoch nicht ! Weißt du es ? Jemand sagte, es gäbe einen Grenzwert und dieser wäre 0,5 aber ob das stimmt, weiß ich nicht!
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Hallo Kristien,
> Die Rechnung zu b) wäre ja folgende: integral von 1 bis
> [mm]z(\bruch{1}{x^3}[/mm]
Da geht aber einiges durcheinander:
du meinst hoffentlich: [mm] \integral_{1}^{z}{\frac{1}{x^2}\ dx} [/mm] oder [mm] \integral_{1}^{z}{\frac{1}{x^3}\ dx} [/mm] ?
[mm] \gdw \left[-\frac{1}{2}*\frac{1}{x^3}\right]_1^z$ $=-\frac{1}{2}(\frac{1}{z^3}-\frac{1}{1^3})
[/mm]
im nächsten Schritt bildest du den Grenzwert:
[mm] \limes_{z\rightarrow\infty}{-\frac{1}{2}(\frac{1}{z^3}-\frac{1}{1^3})}
[/mm]
jetzt wiederhole mal deine Überlegung für den zweiten Fall.
> [mm][-\bruch{1}{2}x^-2]=[/mm] 0,8
> [mm]-\bruch{1}{2}z^-2=0,3[/mm]
> [mm]\bruch{1}{z^2}=-0,6[/mm]
> [mm]z^2=-1,6666......[/mm]
> Daher hat die Gleichung ja keine Lösung! Nun wurde dazu
> noch gesagt, dass die Fläche für x>=1 immer kleiner als 0,5
> ist. Doch wie kommt man auf diese 0,5 und wieso kann die
> Fläche nie 0,8 erreichen? Mit der Rechnung finde ich ja nur
> heraus, dass sies nicht kann. Aber weshalb, das weiß ich
> damit ja immernoch nicht ! Weißt du es ? Jemand sagte, es
> gäbe einen Grenzwert und dieser wäre 0,5 aber ob das
> stimmt, weiß ich nicht!
Gruß informix
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